Bài giải:

${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)-8=0$

ĐKXĐ: $x\ne 0$

$\Leftrightarrow \left[ \left( x+\frac{1}{x} \right)-2 \right]\left[ \left( x+\frac{1}{x} \right)+4 \right]=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left( x+\frac{1}{x} \right)-2=0 \\ & \left( x+\frac{1}{x} \right)+4=0 \\ \end{align} \right.$

+) Với  $x+\frac{1}{x}-2=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0$

$\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn)

+) Với $x+\frac{1}{x}+4=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+4-3=0$

$\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}-3=0$

$\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x+2=\sqrt{3} \\ & x+2=-\sqrt{3} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\sqrt{3}-2 \\ & x=-\sqrt{3}-2 \\\end{align} \right.$

Vậy phương trình có 3 nghiệm.