Bài giải:

Vì AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}={{30}^{0}}$

Xét $\Delta $ ABD vuông tại A ta có: M là trung điểm của AD nên BM = AM = MD = $\frac{1}{2}$AD

Suy ra: $\Delta $AMB cân tại M và $\Delta $BMD cân tại M  nên $\widehat{ABM}=\widehat{MAB}={{30}^{0}}$ ; $\widehat{MBD}=\widehat{MDB}$ (1)

Do đó: $\widehat{MBD}=\widehat{ABD}-\widehat{ABM}={{90}^{0}}-{{30}^{0}}={{60}^{0}}$

Xét $\Delta $ADC ta có: N là trung điểm của AC; I là trung điểm của CD nên NI là đường trung bình của $\Delta $ADC

$\Rightarrow $NI // AD   

$\Rightarrow $$\widehat{NID}=\widehat{MDB}$ (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{MBI}=\widehat{NIB}$ = 60⁰

M là trung điểm của AD; N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của $\Delta $ADC

$\Rightarrow $MN // BC

$\Rightarrow $BMNI là hình thang mà $\widehat{MBI}=\widehat{NIB}$nên BMNI là hình thang cân.

Do đó: $\widehat{BMN}=\frac{{{360}^{0}}-\widehat{MBI}-\widehat{NIB}}{2}=\frac{{{360}^{0}}-{{60}^{0}}-{{60}^{0}}}{2}={{120}^{0}}$

Vậy $\widehat{BMN}$= 120⁰