Bài giải:

Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Đường cao EF của hình thang qua I có độ dài 10 cm.

Xét $\Delta $ADC và $\Delta $BCD ta có: AC = BD; AD = BC; $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

$\Rightarrow $$\Delta $ADC = $\Delta $BCD (c.g.c)

Do đó: $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ nên $\Delta $IDC cân tại I.

Mà IF $\bot $ DC nên F là trung điểm của DC.

Xét $\Delta $IDC vuông tại I ta có:

F là trung điểm của DC nên IF = $\frac{1}{2}$ DC.

Chứng minh tương tự: IE = $\frac{1}{2}$AB

Do đó: IF + IE = FE = $\frac{1}{2}$(AB + DC) = 10 (cm)

Vậy độ dài đường trung bình của hình thang cân là: 10 cm.