Bài giải :

$A=\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}+...+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{20}}$

$\frac{1}{2}A={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}+...+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{21}}$

Suy ra:

$A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{21}}$

$A=1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{20}}$