Bài giải :

Đặt $A={{10}^{n}}+18n-2={{10}^{n}}+18n-1-1$

Xét $B={{10}^{n}}+18n-1$. Ta sẽ chứng minh $B\,\,\vdots \,\,27$

$B={{10}^{n}}+18n-1$

$={{10}^{n}}-1+18n$

$=99...9+18n$ (n chữ số 9)

$=99...9-9n+27n$

$=9\left( 11...1-n \right)+27n$ (n chữ số 1)

Vì $11...1$ có n chữ số 1, nên khi $11...1$ chia cho 9 và n chia cho 9 sẽ có cùng số dư

Suy ra $11...1-n\,\,\vdots \,\,9$

Suy ra $9\left( 11...1-n \right)\,\,\vdots \,\,27$

Suy ra $B\vdots 27$

Suy ra A chia cho 27 dư 26.