ΔABC có đường cao h$_{a}$ , h$_{b}$, h$_{c}$ tỉ lệ thuận với ba số 4; 5; 6

$\frac{{{h}_{a}}}{4}=\frac{{{h}_{b}}}{5}=\frac{{{h}_{c}}}{6}$ = k

$\Rightarrow {{h}_{a}}=4k;\,{{h}_{b}}=5k;\,{{h}_{c}}=6k$

Mặt khác :  ah$_{a}$ = bh$_{b}$= ch$_{c}$với a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác

nên ta có :

4ka = 5kb = 6kc

$\Rightarrow 4a=5b=6c$

$\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

Vậy a = 15 ; b = 12 ; c = 10

Kết luận : độ dài cạnh nhỏ nhất của của tam giác ABC là: 10cm