Tam giác ABC vuông mà có góc C = 45$^{0}$ nên tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Suy ra: AB = AC; AD là phân giác nên sẽ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến ( CD = DB ), $\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=\frac{{{90}^{0}}}{2}={{45}^{0}}$.

Xét tam giác CDM và BDM:

Ta có:

CD = DB

MD chung

$\widehat{MDC}=\widehat{MDB}={{90}^{0}}$  

$\Rightarrow \Delta CMD=\Delta BMD$

$\Rightarrow$ CM = MB (1) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ACM và tam giác NCB ta có:

AM = CB

CA = NC

$\widehat{NCB}=\widehat{MAC}={{180}^{0}}-{{45}^{0}}$

Vậy $\vartriangle ACM=\vartriangle CNB$ . Suy ra NB = CM (2) ( hai cạnh tương ứng )

Từ (1) và (2) suy ra: MB = BN

Xét tam giác AMC và tam giác AMB ta có:

AC = AB ( tam giác ABC cân )

AM chung

$\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ($\Delta CMD=\Delta BMD$)

Vậy $\Delta CMA=\Delta BMA$

$\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MCA}$ ; (3)

Mà $\widehat{AMC}=\widehat{CBN}(do\,\vartriangle ACM=\vartriangle CNB)$(4)

Xét tam giác AMC có $\widehat{DAC}$ là góc ngoài tam giác do đó:

$\widehat{AMC}+\widehat{ACM}={{45}^{0}}$

Do đó:

$\widehat{MBN}=\widehat{MBA}+\widehat{CBN}+\widehat{ABC}=\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{ABC}={{90}^{0}}$

Vậy tam giác MNB là tam giác vuông cân tại B