Chú ý: a, b, c $\in $ N* ta có:

Nếu $\frac{a}{b}<1$ thì $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\,\,\,(*)$

Nếu $\frac{a}{b}>1$ thì  $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\,\,\,(**)$

Ta có:

$\text{A=}\frac{{{2008}^{2008}}+1}{{{2008}^{2009}}+1}$<1

$\Rightarrow \frac{{{2008}^{2008}}+1}{{{2008}^{2009}}+1}<\frac{{{2008}^{2008}}+1+2007}{{{2008}^{2009}}+1+2007}=\frac{{{2008}^{2008}}+2008}{{{2008}^{2009}}+2008}=\frac{2008.\left( {{2008}^{2007}}+1 \right)}{2008..\left( {{2008}^{2008}}+1 \right)}=B$

Vậy A < B