Xét tam giác vuông AHC ta có:

$A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-{{16}^{2}}$ (*)

Xét tam giác vuông AHB ta có:

$A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-{{9}^{2}}$(**)

Từ (*) và (**) ta có:

AC$^{2}-{{16}^{2}}=A{{B}^{2}}-{{9}^{2}}$

$\Rightarrow $ AC$^{2}=A{{B}^{2}}+175$

Mặt khác trong tam giác ABC ta có:

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\Rightarrow A{{B}^{2}}+175+A{{B}^{2}}={{(16+9)}^{2}}=625$

$\Rightarrow A{{B}^{2}}=225$

$\Rightarrow A{{H}^{2}}=225-{{9}^{2}}=144\Rightarrow AH=12$