Bài giải :

Vì  $x,y\in \mathbb{Z}$  nên $\left( 2x+1 \right)\,\,;\,\,\left( y-3 \right)\in \mathbb{Z}$

Suy ra $\left( 2x+1 \right)\,\,;\,\,\left( y-3 \right)\in$ Ư (-10)=$\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 5;\pm 10 \right\}$

Mà  $2x+1\cancel{\vdots }2$ nên $2x+1\in \left\{ \pm 1;\pm 5 \right\}$

Với 2x+1=-1 thì y – 3=10. Suy ra (x ; y)=(-1;13)

Với 2x+1=1 thì y – 3=-10. Suy ra (x ; y)=(0; -7)

Với 2x+1=-5 thì y – 3=2. Suy ra (x ; y)=(-3;5)

Với 2x+1=5 thì y – 3=-2. Suy ra (x ; y)=(2;1)

Vậy có 4 cặp số thỏa mãn đề bài.