Ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$.

Do đó, A là một số nguyên khi và chỉ khi $\sqrt{x}-3$ là ước của 4.

*$\sqrt{x}-3$= 4 $\Rightarrow x=49$

*$\sqrt{x}-3$= -4 $\Rightarrow \sqrt{x}=-1$ (vô lí)

*$\sqrt{x}-3$= 2 $\Rightarrow x=25$

*$\sqrt{x}-3$= -2 $\Rightarrow x=1$

*$\sqrt{x}-3$= 1 $\Rightarrow x=16$

*$\sqrt{x}-3$= -1 $\Rightarrow x=4$

Vậy có 5 giá trị của x để A có giá trị là một số nguyên.