Bài giải:

Gọi O là trung điểm của đoạn BQ. Khi đó OM là đường trung bình của tam giác BCQ.

Suy ra: OM // CQ và OM = $\frac{1}{2}$ CQ.               (1)

NO là đường trung bình của tam giác BPQ $\Rightarrow $ NO // BP và NO = $\frac{1}{2}$BP                      (2)

Mà BP = CQ nên từ (1) và (2) suy ra: MO = NO  $\Rightarrow $$\Delta $ NOM cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OMN}=\widehat{ONM}$                                                                  (3)

Từ (1) ta có: OM // AQ $\Rightarrow \widehat{NMO}=\widehat{NKQ}$  $\Rightarrow \widehat{NMO}=\widehat{AKI}$                                  (4)

Từ (2) ta có: ON // AP $\Rightarrow \widehat{NMO}=\widehat{AIK}$

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\widehat{AKI}=\widehat{AIK}$ .

Nên: tam giác AIK cân tại A.

Vậy đáp án đúng là: A.