Bài giải :

$A=1+{{5}^{2}}+{{5}^{4}}+{{5}^{6}}+...+{{5}^{200}}$

$\Rightarrow $$25A={{5}^{2}}+{{5}^{4}}+{{5}^{6}}+...+{{5}^{200}}+{{5}^{202}}$

$\Rightarrow $$25A={{5}^{2}}+{{5}^{4}}+{{5}^{6}}+...+{{5}^{200}}+{{5}^{202}}$

$\Rightarrow $$25A-A=\left( {{5}^{2}}+{{5}^{4}}+{{5}^{6}}+...+{{5}^{200}}+{{5}^{202}} \right)-\left( 1+{{5}^{2}}+{{5}^{4}}+{{5}^{6}}+...+{{5}^{200}} \right)$

$\Rightarrow $$24A={{5}^{202}}-1$

Vậy $A=\frac{{{5}^{202}}-1}{24}$