Bài giải:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b² + c²)² – 2a²b² – 2b²c² – 2a²c²

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + a²c²)                                    (1)

Lại có: a + b + c = 0

$\Rightarrow $ (a + b + c)² = 0

$\Rightarrow $a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 0

$\Rightarrow $(a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ac) = 0

Thay a² + b² + c² = 1 vào biểu thức ta có:

1 + 2(ab + bc + ac) = 0

ab + bc + ac = $-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow $${{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow $a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c) = $\frac{1}{4}$

Thay  a + b + c = 0 vào biểu thức trên ta có:

a²b² + b²c² + c²a² + 2abc. 0 = $\frac{1}{4}$

$\Rightarrow $a²b² + b²c² + c²a² = $\frac{1}{4}$

Thay a² + b² + c² = 1 và a²b² + b²c² + c²a² = $\frac{1}{4}$ vào (1) ta có:

1² – 2. $\frac{1}{4}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$

Vậy  giá trị của biểu thức ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}$ là: $\frac{1}{2}$