Bài giải:

N = 2x – 2x² – 5

N = -2$\left( {{x}^{2}}-x+\frac{5}{2} \right)$

N = $-2\left( {{x}^{2}}-2x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{5}{2} \right)$

N = $-2\left[ {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right]$

N = $-2\left[ {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{9}{4} \right]$

N = $-2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{2}$

Mà: $2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$   $\ge $ 0   với mọi x

$\Rightarrow $ - $2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$  $\le $ 0   với mọi x

$\Rightarrow $ $-2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{2}$   $\le $ $-\frac{9}{2}$    với mọi x

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức N là: $-\frac{9}{2}$