Bài giải:

M = x² + y² – x + 6y + 10

M = $\left[ {{x}^{2}}-2x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]+\left[ {{y}^{2}}+2y.3+{{3}^{2}} \right]-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}+10$

M = ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}-\frac{1}{4}-9+10$

M = ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Mà: ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$   $\ge $ 0   với mọi x

(y + 3)²  $\ge $ 0   với mọi y

Suy ra: ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$ + (y + 3)²  $\ge $ 0   với mọi x, y

$\Rightarrow $${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+\frac{3}{4}$  $\ge $ $\frac{3}{4}$    với mọi x, y

Vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức M là: $\frac{3}{4}$