Bài giải:

x³ – y³ = 91

$\Leftrightarrow $(x - y)(y² + xy + x² ) = 91.                                     (1)

Mà: y² + xy + x² = ${{\left( y+\frac{1}{2}x \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{x}^{2}}$ $\ge $ 0 với mọi x, y.

Suy ra: x - y $\ge $ 0

Mặt khác: 91 = 1. 91 = 7 . 13 và (x – y); (y² + xy + x² ) đều nguyên dương

Suy ra:  (x – y) $\in $ {1; 7; 13; 91}

+) Trường hợp 1: x – y = 1 $\Rightarrow $ x = 1 + y.

        Suy ra: x² + xy + y² = 91.

        Thay x = 1 + y vào phương trình trên ta có:

            (1 + y)² + (1 + y)y + y² = 91

            $\Leftrightarrow $ 1 + 2y + y² + y + y² + y ² = 91

            $\Leftrightarrow $3y² + 3y – 90 = 0

            $\Leftrightarrow $y² + y – 30  = 0

            $\Leftrightarrow $(y + 6)(y – 5) = 0

            $\Leftrightarrow $$\left[ \begin{align}& y+6=0 \\ & y-5=0 \\ \end{align} \right.$                           

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& y=-6 \\ & y=5 \\ \end{align} \right.$                           

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& y=-6;\,\,x=-5 \\ & y=5;\,\,x=6 \\ \end{align} \right.$

+) Trường hợp 2: x – y = 7 $\Rightarrow $ x = 7 + y.

       Suy ra: x² + xy + y² = 13.

       Thay x = 7 + y vào phương trình trên ta có:

            (7 + y)² + (7 + y)y + y² = 13

            $\Leftrightarrow $ 49 + 14y + y² + 7y + y² + y² = 13

            $\Leftrightarrow $3y² + 21y + 36 = 0

            $\Leftrightarrow $y² + 7y + 12 = 0

            $\Leftrightarrow $(y + 3)(y + 4) = 0

            $\Leftrightarrow $$\left[ \begin{align}& y+3=0 \\ & y+4=0 \\ \end{align} \right.$             

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& y=-3 \\ & y=-4 \\ \end{align} \right.$                                     

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& y=-3;\,\,\,x=4 \\ & y=-4;\,\,\,x=3 \\\end{align} \right.$

+) Trường hợp 3: x – y = 13 $\Rightarrow $ x = 13 + y.

        Suy ra: x² + xy + y² = 7.

        Thay x = 13 + y vào phương trình trên ta có:

            (13 + y)² + (13 + y)y + y² = 7

            $\Leftrightarrow $ 169 + 26y + y² + 13y + y² + y ² = 7

            $\Leftrightarrow $3y² + 39y + 162 = 0

            $\Leftrightarrow $y² + 13y + 54  = 0

            $\Leftrightarrow $ ${{\left( y+\frac{13}{2} \right)}^{2}}-\frac{169}{4}+54=0$    

             $\Leftrightarrow {{\left( y+\frac{13}{2} \right)}^{2}}+\frac{47}{4}=0$                      (1)

Mà: $\Leftrightarrow {{\left( y+\frac{13}{2} \right)}^{2}}+\frac{47}{4}>0$ với mọi y.

Suy ra không có giá trị nào của y thỏa mãn phương trình (1).

+) Trường hợp 4: x – y = 91 $\Rightarrow $ x = 91 + y.

       Suy ra: x² + xy + y² = 1.

       Thay x = 91 + y vào phương trình trên ta có:

            (91 + y)² + (91 + y)y + y² = 1

            $\Leftrightarrow $ 8281 + 182y + y² + 91y + y² + y² = 1

            $\Leftrightarrow $3y² + 273y + 8280 = 0

            $\Leftrightarrow $y² + 91y + 2760 = 0

            $\Leftrightarrow $${{\left( y+\frac{91}{2} \right)}^{2}}-\frac{8281}{4}+2760=0$ 

            $\Leftrightarrow {{\left( y+\frac{91}{2} \right)}^{2}}+\frac{2759}{4}=0$

            Mà: ${{\left( y+\frac{91}{2} \right)}^{2}}+\frac{2759}{4}>0$ với moi y.

            Suy ra: không có giá trị nào của y thỏa mãn phương trình (2).

Vậy số nghiêm nguyên của phương trình là: 4.