Bài giải:

x² - 2y² = 5

Vì: 5 là số lẻ mà 2y² là số chẵn nên x² phải là số lẻ.

Suy ra: x là số lẻ $\Rightarrow $ x có dạng: 2k + 1.     (với k nguyên dương)

Thay x = 2k + 1 vào phương trình ta có:

(2k + 1)² – 2y² = 5

$\Leftrightarrow $ 4k² + 4k + 1 – 2y² = 5

 $\Leftrightarrow $4(k² + k) – 2y² = 4

$\Leftrightarrow $2(k² + k) – y² = 2.

Vì: 2(k² + k) và 2 là số chẵn nên y² cũng là số chẵn.

Suy ra: y là số chẵn $\Rightarrow $ y có dạng 2t.   (với t nguyên dương)

Thay y = 2t vào phương trình ta có:

2(k² + k) – (2t)² = 2

$\Leftrightarrow $ 2(k² + k) – 4t² = 2

$\Leftrightarrow $(k² + k) – 2t² = 1.

$\Leftrightarrow $k(k + 1) = 1 + 2t²

Ta có:  k(k + 1) là số chẵn mà 1 + 2t²  là số lẻ.

Suy ra phương trình vô nghiêm.

Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình là: 0.