Bài giải:

x² - 2y² = 5

Ta có: 2y² là số chẵn nên x² là số lẻ.

x² là số lẻ nên x cũng là số lẻ. Suy ra: x = 2k + 1  (với k là số nguyên dương)

Thay x = 2k + 1 vào phương trình ta có:

(2k + 1)² – 2y² = 5

$\Rightarrow $ 4k²  + 4k + 1 – 2y² = 5

$\Rightarrow $2k² + 2k – y² = 2.

$\Rightarrow $2(k² + k) – y² = 2                                   $\otimes $

Mà: 2(k² + k) là số chẵn nên y² cũng là số chẵn.

Suy ra: y có dạng  y = 2t + 1.

Thay y = 2t + 1 vào phương trình $\otimes $ ta có:

2(k² +k) – (2t + 1)² = 2

$\Rightarrow $2(k² + k) – 4t² – 4t – 1 = 2

$\Rightarrow $2(k² + k) – 4(t² + t) = 1.

Mà: 2(k² + k)   $\vdots $  2 với mọi k.

        4(t² + t) $\vdots $  2 với mọi t.

            1  không chia hết cho 2.

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình là : 0.