Bài giải:

A = $\frac{1}{x-3{{x}^{2}}+12}$ 

A = $\frac{1}{-3{{x}^{2}}+x+12}$

A = $\frac{1}{-3\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{3}x-4 \right)}$

A = $\frac{1}{-3\left( {{x}^{2}}-2.\frac{1}{6}x+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}-4 \right)}$

A = $\frac{1}{-3\left[ {{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}-\frac{145}{36} \right]}$

A = $\frac{1}{-3{{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}+\frac{145}{12}}$

Mà: -3${{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}$       $\le $  0 với mọi x.

$\Rightarrow $ $-3{{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}+\frac{145}{12}$      $\le $  $\frac{145}{12}$    với mọi x.

$\Rightarrow $$\frac{1}{-3{{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}+\frac{145}{12}}$     $\ge $  $\frac{12}{145}$   với mọi x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: $\frac{12}{145}$