Bài giải:

x² + 11x + 9

= x² + 2.x.$\frac{11}{2}$  + ${{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}$ - ${{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}$+ 9

= ${{\left( x+\frac{11}{2} \right)}^{2}}-\frac{85}{4}$

Mà: ${{\left( x+\frac{11}{2} \right)}^{2}}$   $\ge $ 0    với mọi x.

Suy ra:  ${{\left( x+\frac{11}{2} \right)}^{2}}-\frac{85}{4}$   $\ge $ $-\frac{85}{4}$     với mọi x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: $\frac{-85}{4}$