Bài giải:

x² + y² – x +  6y + 15

= x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ + ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}$ + y² + 2.y. 3 + 3² - ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}$- 3² + 15

= ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+\frac{23}{4}$

Mà: ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$    $\ge $ 0    với mọi x.

(y + 3)²   $\ge $ 0    với mọi y.

Suy ra: ${{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+\frac{23}{4}$   $\ge $ $\frac{23}{4}$     với mọi x; y.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: $\frac{23}{4}$ .