Bài giải:

Ta có: x² + 4x + y² - 12 = 0

$\Leftrightarrow$ x² + 2. 2x + 2² + y² – 2² – 12 = 0

$\Leftrightarrow$(x + 2)² = (4 - y)(y + 4)

Mà: x ; y là số nguyên nên 4 – y = y + 4

$\Rightarrow$ y = 0

Suy ra : $\left[ \begin{align}& x+2=4 \\ & x+2=-4 \\ \end{align} \right.$                 

$\Rightarrow$$\left[ \begin{align}& x=2 \\ & x=-6 \\ \end{align}\right.$

+) Trường hợp 1: (x ; y) = (2; 0)

P = x² + y² = 2² + 0² = 4

+) Trường hợp 2: (x ; y) = (-6; 0)

P = x² + y² = (-6)² + 0² = 36.

Vậy giá trị lớn nhất của P là: 36.