Bài giải:

Nối BE và DE cắt BF tại K.

Trong tam giác ABC ta có:${{S}_{ABE}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}$  (1)

(AE = $\frac{1}{2}$AC , chung đường cao kẻ từ B).

Tương tự ta có ${{S}_{A\text{D}E}}=\frac{1}{2}{{S}_{A\text{D}C}}$ (2)

Từ (1) và (2) cho ta: ${{S}_{ABE\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC\text{D}}}$  

Hình thang DBEF cho ta ${{S}_{BF\text{E}}}={{S}_{DF\text{E}}}$

(chung cạnh đáy FE, hai đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang).

Mà 2 tam giác này có phần chung là ${{S}_{KF\text{E}}}$ suy ra  ${{S}_{BKE}}={{S}_{DKF}}$  (3)

Ta thấy:  ${{S}_{ABF\text{D}}}={{S}_{ABE\text{D}}}-{{S}_{BKE}}+{{S}_{DKF}}$

Theo (3) ta có:  ${{S}_{ABF\text{D}}}={{S}_{ABE\text{D}}}$

Hay ${{S}_{ABF\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC\text{D}}}$

Vậy đoạn thẳng BF chia hình tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.