ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ I TOÁN 9 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2020 - 2021

Ngày đăng: 05/11/2020

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM TỔ TOÁN – TIN

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 9 Năm học: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 60 phút

 

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{3\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+2}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$ với $x\ge 0$ và $x\ne 4$.

1) Chứng minh rằng: $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

2) Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

3) Tìm các số thực x sao cho A.B nhận giá trị là số nguyên.

Bài giải:

1) $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\,\,\left( x\ge 0,\,\,x\ne 4 \right)$

$B=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)+5\sqrt{x}-2}{x-4}$

$B=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{x-4}$

$B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

2) $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Ta thấy $\sqrt{x}\,\ge 0$ nên để B < 0 thì $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \sqrt{x}>0  \\   \text{  }\!\!~\!\!\text{ } & \sqrt{x}-2<0  \\\end{array} \right.$$\Rightarrow 0<\sqrt{x}<2$ $\Rightarrow 0 < x < 4.$

3) $A.B=\frac{3\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+2}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{3\sqrt{x}}{x+2}$

Nếu x = 0 thì ta có A.B = 0 (thỏa mãn).

Nếu $x\ne 0,$ta chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{x}$.

Khi đó $A.B=\frac{3}{\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}$

Với $x\ge 0$ và $x\ne 4$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm:

$\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\Rightarrow x=2.$

$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}\le \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

AB nguyên nên A.B = 0 hoặc A.B = 1.

$A.B=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0.$

$A.B=1\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=3$.

$\Rightarrow x-3\sqrt{x}+2=0.$

$\Rightarrow \left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)=0.$

$x\ne 4$ nên $\sqrt{x}\ne 2.$

$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0\Rightarrow x=1.$

Vậy $x\in \left\{ 0,1 \right\}$ thì A.B có giá trị nguyên.

Bài 2. (1,0 điểm)

Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}-\sqrt{2x-4}=0$

Bài giải:

$\sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}-\sqrt{2x-4}=0$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-2x-1\ge 0 \\  & 2x-4\ge 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x\ge 1+\sqrt{2}$

$\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}=\sqrt{2x-4}$

Bình phương 2 vế ta thu được:

${{x}^{2}}-2x-1=2x-4$

$\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0$

$\Rightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & x=1\,\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy x = 3.

Bài 3. (4,0 điểm)       1) Chiều dài của một bập bênh là 5,2m, khi một đầu của bập bênh chạm đất thì cái bập bênh tạo với mặt đất một góc 23o (xem hình vẽ). Hỏi đầu còn lại của bập bênh cách mặt đất bao nhiêu mét? (Biết mặt đất phẳng, kết quả làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy)     2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. a)      Cho AB = 5cm, AC = 12cm. Hãy tính tỉ số $\frac{BH}{CH}$. b)      Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC. c)      Gọi O là trung điểm của HC và d là tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính HC. Đường thẳng đi qua H, vuông góc với AO và cắt d tại D. Chứng minh rằng hai tam giác HAC và COD đồng dạng   Bài giải: 1) Gọi đầu còn lại của bấp bênh là A, mặt đất là MB, từ A kẻ AB vuông góc với MB. Xét ∆MAB vuông tại B: $\sin \,\widehat{AMB}=\frac{AB}{AM}$ $\Rightarrow \sin \,{{23}^{{}^\circ }}=\frac{AB}{5,2}\Rightarrow AB=\sin {{23}^{0}}\,.\,\,5,2\approx 2,03$(m). 2) a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có: $\left\{ \begin{align}& A{{B}^{2}}=BH.BC \\ & A{{C}^{2}}=CH.BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{25}{144}$ b) Gọi K là giao điểm của EF và AH, O là trung điểm của HC. Ta có $\left\{ \begin{align} & AE//HF\left( \bot AC \right) \\  & HE//AF\left( \bot AB \right) \\  & \widehat{EAF}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $HEAF là hình chữ nhật. $\Rightarrow $ AH và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow $KF = KH. ∆HFC vuông tại F có O là trung điểm của HC nên FO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆HFC $\Rightarrow FO=HO=\frac{1}{2}HC,$ hay FO là bán kính của đường tròn đường kính HC. Xét ∆KHO và ∆KFO: $\left\{ \begin{align}  & KH=KF \\  & KO\,chung \\  & HO=FO \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆KHO = ∆KFO (c – c – c) $\Rightarrow \widehat{KHO}=\widehat{KFO}$(2 góc tương ứng) $\Rightarrow \widehat{KFO}={{90}^{{}^\circ }}$ $\Rightarrow EF\bot FO$. Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC. c) $\widehat{CHD}=\widehat{HAO}$ (cùng phụ với $\widehat{DHA}$). Xét ∆HAO và ∆CHD: $\left\{ \begin{align}  & \widehat{HAO}=\widehat{CHD} \\ & \widehat{AHO}=\widehat{HCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆HAO $\sim $∆CHD (g – g)

$\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{HO}{CD}$ $\Rightarrow \frac{HA}{HO}=\frac{HC}{CD}$ Mà OH = OC nên $\frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD}$ Xét ∆HAC và ∆COD: $\left\{ \begin{align}  & \frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD} \\  & \widehat{AHC}=\widehat{OCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow $∆HAC $\sim $∆COD (c – g – c) Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=2020$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x}+2\sqrt{y}$

Bài giải:

+) Tìm giá trị lớn nhất:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

${{\left( \sqrt{x}+2\sqrt{y} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( x+y \right)=5\left( x+y \right)=10100$

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\sqrt{y}\le 10\sqrt{101}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=\frac{\sqrt{y}}{2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=404 \\  & y=1616 \\\end{align} \right.$

+) Tìm giá trị nhỏ nhất:

$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{y}$

Do x, y là các số thực không âm nên $2\sqrt{x.y}\ge 0$

$\Rightarrow x+2\sqrt{x.y}+y\ge x+y$

$\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{2}}\ge {{\left( \sqrt{x+y} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\ge \sqrt{x+y}$ với x, y không âm.

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\sqrt{y}\ge \sqrt{x+y}+\sqrt{y}\ge \sqrt{2020}+\sqrt{y}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & y=0 \\ \end{align} \right.$

Do đó để $\sqrt{x}+2\sqrt{y}$ đạt GTNN thì $y=0,$ khi đó $\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{2020}$.

Vậy $\sqrt{x}+2\sqrt{y}$ đạt GTLN bằng $10\sqrt{101}$tại x = 404, y = 1616.

$\sqrt{x}+2\sqrt{y}$đạt GTNN bằng $\sqrt{2020}$ tại x = 2020, y = 0.

 

 

 

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/