ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ I TOÁN 9 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2020 - 2021

Ngày đăng: 05/11/2020

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI – AMSTERDAM

TỔ TOÁN – TIN

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I

MÔN TOÁN LỚP 9

Năm học: 2020 – 2021

Thời gian làm bài: 60 phút

 

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{3\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+2}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$ với $x\ge 0$ và $x\ne 4$.

1) Chứng minh rằng: $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

2) Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

3) Tìm các số thực x sao cho A.B nhận giá trị là số nguyên.

Bài giải:

1) $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\,\,\left( x\ge 0,\,\,x\ne 4 \right)$

$B=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)+5\sqrt{x}-2}{x-4}$

$B=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{x-4}$

$B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

2) $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Ta thấy $\sqrt{x}\,\ge 0$ nên để B < 0 thì $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & \sqrt{x}>0  \\   \text{  }\!\!~\!\!\text{ } & \sqrt{x}-2<0  \\\end{array} \right.$$\Rightarrow 0<\sqrt{x}<2$ $\Rightarrow 0 < x < 4.$

3) $A.B=\frac{3\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+2}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{3\sqrt{x}}{x+2}$

Nếu x = 0 thì ta có A.B = 0 (thỏa mãn).

Nếu $x\ne 0,$ta chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{x}$.

Khi đó $A.B=\frac{3}{\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}$

Với $x\ge 0$ và $x\ne 4$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm:

$\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\Rightarrow x=2.$

$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}\le \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

AB nguyên nên A.B = 0 hoặc A.B = 1.

$A.B=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0.$

$A.B=1\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=3$.

$\Rightarrow x-3\sqrt{x}+2=0.$

$\Rightarrow \left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)=0.$

$x\ne 4$ nên $\sqrt{x}\ne 2.$

$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0\Rightarrow x=1.$

Vậy $x\in \left\{ 0,1 \right\}$ thì A.B có giá trị nguyên.

Bài 2. (1,0 điểm)

Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}-\sqrt{2x-4}=0$

Bài giải:

$\sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}-\sqrt{2x-4}=0$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-2x-1\ge 0 \\  & 2x-4\ge 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x\ge 1+\sqrt{2}$

$\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}=\sqrt{2x-4}$

Bình phương 2 vế ta thu được:

${{x}^{2}}-2x-1=2x-4$

$\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0$

$\Rightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & x=1\,\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy x = 3.

Bài 3. (4,0 điểm)      

1) Chiều dài của một bập bênh là 5,2m, khi một đầu của bập bênh chạm đất thì cái bập bênh tạo với mặt đất một góc 23o (xem hình vẽ). Hỏi đầu còn lại của bập bênh cách mặt đất bao nhiêu mét? (Biết mặt đất phẳng, kết quả làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy)

 9.1.1

 

2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.

a)      Cho AB = 5cm, AC = 12cm. Hãy tính tỉ số $\frac{BH}{CH}$.

b)      Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC tại EF. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.

c)      Gọi O là trung điểm của HCd là tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính HC. Đường thẳng đi qua H, vuông góc với AO và cắt d tại D. Chứng minh rằng hai tam giác HACCOD đồng dạng

 

Bài giải:

1)

9.1.2

Gọi đầu còn lại của bấp bênh là A, mặt đất là MB, từ A kẻ AB vuông góc với MB.

Xét ∆MAB vuông tại B: $\sin \,\widehat{AMB}=\frac{AB}{AM}$

$\Rightarrow \sin \,{{23}^{{}^\circ }}=\frac{AB}{5,2}\Rightarrow AB=\sin {{23}^{0}}\,.\,\,5,2\approx 2,03$(m).

2)

9.2

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\left\{ \begin{align}& A{{B}^{2}}=BH.BC \\ & A{{C}^{2}}=CH.BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{25}{144}$

b)

Gọi K là giao điểm của EF và AH, O là trung điểm của HC.

Ta có $\left\{ \begin{align} & AE//HF\left( \bot AC \right) \\  & HE//AF\left( \bot AB \right) \\  & \widehat{EAF}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $HEAF là hình chữ nhật.

$\Rightarrow $ AH và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow $KF = KH.

∆HFC vuông tại F có O là trung điểm của HC nên FO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆HFC

$\Rightarrow FO=HO=\frac{1}{2}HC,$ hay FO là bán kính của đường tròn đường kính HC.

Xét ∆KHO và ∆KFO:

$\left\{ \begin{align}  & KH=KF \\  & KO\,chung \\  & HO=FO \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆KHO = ∆KFO (c – c – c)

$\Rightarrow \widehat{KHO}=\widehat{KFO}$(2 góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{KFO}={{90}^{{}^\circ }}$

$\Rightarrow EF\bot FO$.

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.

c) $\widehat{CHD}=\widehat{HAO}$ (cùng phụ với $\widehat{DHA}$).

Xét ∆HAO và ∆CHD:

$\left\{ \begin{align}  & \widehat{HAO}=\widehat{CHD} \\ & \widehat{AHO}=\widehat{HCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆HAO $\sim $∆CHD (g – g)

$\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{HO}{CD}$

$\Rightarrow \frac{HA}{HO}=\frac{HC}{CD}$

Mà OH = OC nên

$\frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD}$

Xét ∆HAC và ∆COD:

$\left\{ \begin{align}  & \frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD} \\  & \widehat{AHC}=\widehat{OCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow $∆HAC $\sim $∆COD (c – g – c)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x+y=2020$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x}+2\sqrt{y}$

Bài giải:

+) Tìm giá trị lớn nhất:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

${{\left( \sqrt{x}+2\sqrt{y} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( x+y \right)=5\left( x+y \right)=10100$

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\sqrt{y}\le 10\sqrt{101}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=\frac{\sqrt{y}}{2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=404 \\  & y=1616 \\\end{align} \right.$

+) Tìm giá trị nhỏ nhất:

$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{y}$

Do x, y là các số thực không âm nên $2\sqrt{x.y}\ge 0$

$\Rightarrow x+2\sqrt{x.y}+y\ge x+y$

$\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{2}}\ge {{\left( \sqrt{x+y} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\ge \sqrt{x+y}$ với x, y không âm.

$\Rightarrow \sqrt{x}+2\sqrt{y}\ge \sqrt{x+y}+\sqrt{y}\ge \sqrt{2020}+\sqrt{y}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & y=0 \\ \end{align} \right.$

Do đó để $\sqrt{x}+2\sqrt{y}$ đạt GTNN thì $y=0,$ khi đó $\sqrt{x}+2\sqrt{y}=\sqrt{2020}$.

Vậy $\sqrt{x}+2\sqrt{y}$ đạt GTLN bằng $10\sqrt{101}$tại x = 404, y = 1616.

$\sqrt{x}+2\sqrt{y}$đạt GTNN bằng $\sqrt{2020}$ tại x = 2020, y = 0.

 

 

 

Tác giả: Vinastudy

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/

Khách hàng nhận xét

Đánh giá trung bình

5/5

(8 nhận xét)

1

13%

2

0%

3

0%

4

0%

5

88%

Chia sẻ nhận xét về sản phẩm

Viết nhận xét

Gửi nhận xét của bạn

1. Đánh giá của bạn về sản phẩm này: (*)

2. Tên của bạn: (*)

3. Email liên hệ:

3. Viết nhận xét của bạn: (*)

Gửi nhận xét

* Những trường có dấu (*) là bắt buộc.

* Để nhận xét được duyệt, quý khách lưu ý tham khảo Tiêu chí duyệt nhận xét của Vinastudy

  • Chưa có đánh giá nào!

Các tin mới nhất

Ôn thi vào 10 môn Toán - Vinastudy - Số 02: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 8 - Vinastudy - Số 02: Tứ giác - Hình thang - Thầy Trần Tuấn Việt
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 7 - Vinastudy - Số 02: Giá trị tuyệt đối - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 6 - Vinastudy - Số 02: Vận dụng tính chất chia hết của một tổng - Thầy Nguyễn Thành Long
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 5 - Vinastudy - Số 02: Kỹ thuật tách mẫu trong bài toán tính nhanh dãy phân số có quy luật - Thầy Nguyễn Thành Long
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 4 - Vinastudy - Số 02: Bài toán trung bình cộng (luyện tập) - Thầy Nguyễn Thành Long
Ôn thi vào 10 môn Toán - Vinastudy - Số 01: Đơn giản biểu thức căn bậc hai - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 8 - Vinastudy - Số 01: Hằng Đẳng Thức - Thầy Trần Tuấn Việt
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 7 - Vinastudy - Số 01: Góc tạo bởi 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng, 2 đường thẳng song song - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 6 - Vinastudy - Số 01: Tính tổng dãy luỹ thừa có quy luật - Thầy Nguyễn Thành Long
Chào năm học mới