Toán 9 - Hình Cầu

Ngày đăng: 21/03/2025

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

1. Mặt cầu

2. Diện tích và thể tích

3. Cắt mặt cầu bởi mặt phẳng

a) Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

b) Nếu cắt một mặt cầu bán kính $R$ bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn (H.10.23).

- Khi mặt phẳng đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính $R$ và được gọi là đường tròn lớn.

- Khi mặt phẳng không đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn $R$.

Câu 1.AV – Mã VinaID 137790. Một cái thùng dùng để đựng gạo có dạng nửa hình cầu với đường kính $50cm$, phần gạo vun lên có dạng hình nón cao $12cm$

a) Tính thể tích phần gạo trong thùng.

b) Nhà bạn An dùng lon sữa bò dạng hình trụ với bán kính đáy là$5cm$, chiều cao $14cm$ dùng để đong gạo mỗi ngày. Biết rằng mỗi ngày nhà An ăn 4 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm $90%$ thể tích của lon. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu ngày để nhà An có thể ăn hết số gạo trong thùng?

HD:

a) Bán kính của hình cầu là: $R=\frac{d}{2}=\frac{50}{2}=25\left( cm \right)$

Thể tích phần gạo hình cầu là: ${{V}_{c}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi {{25}^{3}}=\frac{31250}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

Thể tích phần gạo vun lên dạng hình nón là: ${{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \cdot {{25}^{2}}\cdot 12=2500\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

Thể tích gạo trong thùng là: ${{V}_{g}}=\frac{31250}{3}\pi +2500\pi =\frac{38750}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

b) Thể tích lon là: $\pi {{.5}^{2}}.14=350\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

Thể tích gạo một ngày múc là : $4.90%.350\pi =1260\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

Ta có : $\frac{38750}{\pi }:1260\pi \approx 10,3$

Vậy cần ít nhất 11 ngày để dùng hết số gạo trong thùng.

Câu 2.AV – Mã VinaID 137791. Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy \[r=10\left( cm \right),\]chiều cao \[h=20(cm)\]. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình vẽ.

Tính thể tích của khối gỗ khi chưa khoét.
Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại sau khi khoét (diện tích cả ngoài lẫn trong).

HD:

a) Thể tích của khối gỗ lúc chưa khoét là:

$V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.20\approx 6283\left( c{{m}^{3}} \right)$

b)Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại gồm diện tích xung quanh của hình trụ (có bán kính đáy là \[r=10\left( cm \right),\]và chiều cao \[h=20(cm)\]) và diện tích hai nửa mặt cầu bán kính \[r=10\left( cm \right),\]

Diện tích cần tìm là: \[S=2\pi r.h+4\pi {{r}^{2}}=2\pi .10.20+4.\pi {{.10}^{2}}\approx 2513\left( c{{m}^{2}} \right)\]

Câu 3.AV – Mã VinaID 137792. 1) Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao trong bằng 3 lần đường kính trong của đáy; một viên bi hình cầu và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi và khối nón đều có đường kính bằng đường kính trong của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.

a) Tính thể tích nước còn lại trong cốc

b) Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu.

HD:

a) Chiều cao của hình trụ là : $6R$

Chiều cao của hình nón là : $6R-2R=4R$

Ta có:

Thể tích hình trụ là: ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{R}^{2}}.6R=6\pi {{R}^{3}}$.

Thể tích viên bi là: ${{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.

Thể tích hình nón là: ${{V}_{3}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.4R=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.

Thể tích nước còn lại trong bình là: ${{V}_{4}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}-{{V}_{3}}=6\pi {{R}^{3}}-\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}-\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{10}{3}\pi {{R}^{3}}$

b) Tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu là tỉ số thể tích của hiệu thể tích hình trụ với tổng thể tích hình nón và hình cầu với thể tích của hình trụ.

Tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu là: \[\frac{{{V}_{4}}}{{{V}_{1}}}=\frac{\frac{10}{3}\pi {{R}^{3}}}{6\pi {{R}^{3}}}=\frac{5}{9}\].

Câu 4.AV – Mã VinaID 137793. Một hộp đựng bóng tenis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tenis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tenis có đường kính là $6,2cm$ và có kích thức như nhau.

a) Tính thể tích hộp đựng bóng tenis

b) Tính thể tích phần không gian còn trống bên trong là bao nhiêu? (Bỏ qua độ dày của vỏ hộp) (Lấy $\pi \approx 3,14$ và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

HD:

a) Chiều cao của hộp hình trụ: $3.6,2=18,6\text{ }\left( cm \right)$

Bán kính của hình tròn đáy hình trụ: $6,2:2=3,1\text{ }\left( cm \right)$

Thể tích của hộp hình trụ là: $V=\pi {{R}^{2}}h\approx 3,14.3,{{1}^{2}}.18,6$$\approx 561,3\text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)$

b) Thể tích của 3 quả bóng tenis là: $V=3.\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$$\approx 3.\frac{4}{3}.3,14.3,{{1}^{3}}$$\approx 93,5\text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)$

Thể tích phần không gian còn trống bên trong là: $561,3-93,5=467,8\text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)$

Câu 5.AV – Mã VinaID 137794. Người ta đổ đầy nước vào một bình đong với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích của phần nước trong bình, lấy \[\pi \approx 3,14\](giả sử bề dày của bình đong không đáng kể, kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

HD:

Bán kính đáy phần hình trụ là : \[2:1=2(cm)\]

Thể tích của phần bình hình trụ là : \[{{V}_{1}}=\pi .{{r}_{1}}^{2}.h=3,{{14.1}^{2}}.8=25,12(c{{m}^{3}})\]

Thể tích phần bình hình cầu là: \[{{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi .{{r}_{2}}^{3}=\frac{4}{3}.3,14.4,{{25}^{3}}\approx 321,39(c{{m}^{3}})\]

Thể tích nước trong bình là : \[V=25,12+321,39=346,51(c{{m}^{3}})\]

Vậy thể tích nước trong bình khoảng \[346,51(c{{m}^{3}})\]

Câu 6.AV– Mã VinaID 137795 . Một hộp đựng bóng có dạng hình trụ đựng được vừa khít \[3\] quả bóng như hình vẽ bên. Coi quả bóng có dạng hình cầu với đường kính $6cm$. Tính thể tích phần khoảng không trong hộp?

HD:

Chiều cao của hộp là: $6.3=18\left( \text{cm} \right)$

Bán kính của mặt hôp là: $6:2=3\left( \text{cm} \right)$

Thể tích hộp là: $V=\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }{{R}^{2}}h={{3}^{2}}.18\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }=162\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$

Thể tích 3 quả bóng là $V=3.\frac{4}{3}.\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }\text{.}{{r}^{3}}=3.\frac{4}{3}.\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }{{.3}^{3}}=108\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right)$

Thể tích phần khoảng không trong hộp là: $162\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }-108\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }=54\text{ }\!\!\Pi\!\!\text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)$

Câu 7.AV – Mã VinaID 137796. Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng đổ \[12\] lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu

Hướng dẫn:

Đường sinh \[AB\] cắt trục\[OO'\] tại \[C\]. Khi đó hai hình nón có đỉnh \[O\], \[C\] có chung đáy là hình tròn \[\left( {{O}^{'}} \right)\]có thể tích bằng nhau
Gọi \[{{V}_{1}}\] là thể tích hình nón đỉnh \[C\], đáy là hình tròn \[\left( {{O}^{'}} \right)\] ; \[{{V}_{2}}\] là thể tích hình nón đỉnh \[O\], đáy là hình tròn \[\left( {{O}^{'}} \right)\]; \[V\] là thể tích hình nón đỉnh \[C\], đáy là hình tròn \[\left( O \right)\] ; \[{{V}_{n}}\,=\,12\] là thể tích nước đổ vào
Ta có:

\[\begin{align}

& \frac{{{V}_{1}}}{V}=\,\frac{\frac{1}{3}\,\,\cdot \,CO'\cdot \,\,\pi \cdot O'{{B}^{2}}}{\frac{1}{3}\cdot \,\,CO\cdot \,\,\pi \cdot O{{A}^{2}}}=\,\frac{CO'}{CO}\cdot \,{{\left( \frac{O'B}{OA} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{8} \\

& Suy\,\,ra\,\,{{V}_{1}}={{V}_{2}}=\frac{1}{8}V\,\,(\,1\,) \\

\end{align}\]

Do đó thể tích nước đổ vào là

\[{{V}_{n}}=\frac{6}{8}V\,\,(\,2\,)\,\,\]( vì \[{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{n}}=\,V\])

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra

\[{{V}_{1}}={{V}_{2}}=\frac{1}{6}{{V}_{n}}=\frac{1}{6}\cdot 12=\,2\,\]( lít )

Vậy thể tích của phễu là \[2\] lít

Câu 8.AV – Mã VinaID 137797. Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai hình cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính \[25cm\]khoảng cách giữa hai tâm hình cầu là \[40cm\]. Giá mạ vàng \[1{{m}^{2}}\] là \[4700000\]đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. Tính số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó.

Hướng dẫn:

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có \[h=\frac{2R-d}{2}=\frac{2.25-40}{2}=5cm\]

(\[d\]là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu là:\[{{S}_{xq}}=2\pi Rh\]

Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.

\[{{S}_{xq}}\] khối trang sức \[=2{{S}_{xq}}\] khối cầu\[-2{{S}_{xq}}\] chỏm cầu.

Khối trang sức có \[{{S}_{xq}}=2.4\pi {{R}^{2}}-2.2\pi Rh=2.4\pi {{.25}^{2}}-2.2\pi .25.5=4500\pi c{{m}^{2}}=0.45{{m}^{2}}\]

Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là \[4700000.0,45\pi \approx 6640000\]đồng.

Câu 9.AV – Mã VinaID 137798. Trái Đất, hành tinh chúng ta đang sống, dạng hình cầu có bán kính là \[\text{6370 km}\].

Biết rằng \[29%\] diện tích bề mặt Trái Đất không bị bao phủ bởi nước bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng bằng và các địa hình khác.

a) Tính diện tích của bề mặt Trái Đất.

b) Tính diện tích bề mặt mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước

(Lấy\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx \text{3,14}\]; kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị.

Hướng dẫn:

Vì Trái Đất hình cầu có bán kính là\[\text{6370 km}\]nên diện tích bề mặt Trái Đất là:

\[{{S}_{xq}}=4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{R}^{2}}=\text{4 }.\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\text{. 637}{{\text{0}}^{\text{2}}}\approx \text{509645864 }\left( \text{k}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)\]

Vậy diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước là:

\[(100%-29%)\,\,\text{ }.\text{ }\,\,509645864=361848563,4\text{ }\left( \text{k}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)\]

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!.

Tác giả: Vinastudy

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046