Toán 4 - Tính nhanh dãy phân số có quy luật

Ngày đăng: 13/03/2025

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

1. RÚT GỌN DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT

Câu 1 – Mã VinaID 136376. Tính:

$A=\left( 1-\frac{3}{4} \right)\times \left( 1-\frac{3}{7} \right)\times \left( 1-\frac{3}{10} \right)\times \left( 1-\frac{3}{13} \right)\times ......\times \left( 1-\frac{3}{97} \right)\times \left( 1-\frac{3}{100} \right)$

$B=\left( 1-\frac{1}{2} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{4} \right)\times ...\times \left( 1-\frac{1}{99} \right)+\left( 1-\frac{4}{7} \right)\times \left( 1-\frac{4}{11} \right)\times \left( 1-\frac{4}{15} \right)\times ...\times \left( 1-\frac{4}{99} \right)$

HD

1. a)

\[A=\left( 1-\frac{3}{4} \right)\times \left( 1-\frac{3}{7} \right)\times \left( 1-\frac{3}{10} \right)\times \left( 1-\frac{3}{13} \right)\times ......\times \left( 1-\frac{3}{97} \right)\times \left( 1-\frac{3}{100} \right)\]

\[=\frac{1}{4}\times \frac{4}{7}\times \frac{7}{10}\times \frac{10}{13}\times ...\times \frac{94}{97}\times \frac{97}{100}=\frac{1}{100}\]

1. b)

$B=\left( 1-\frac{1}{2} \right)\times \left( 1-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{4} \right)\times ...\times \left( 1-\frac{1}{99} \right)+\left( 1-\frac{4}{7} \right)\times \left( 1-\frac{4}{11} \right)\times \left( 1-\frac{4}{15} \right)\times ...\times \left( 1-\frac{4}{99} \right)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times ...\times \frac{98}{99}+\frac{3}{7}\times \frac{7}{11}\times \frac{11}{15}\times ...\times \frac{95}{99}=\frac{1}{99}+\frac{3}{99}=\frac{4}{99}$

Câu 2 – Mã VinaID 136374. Tính: $B=\frac{2019}{2021}\times \frac{2014}{2017}\times \frac{2021}{2018}\times \frac{2017}{2019}\times \frac{1009}{1007}$.

Câu 3 – Mã VinaID 136375. Tính:

1. a) $C=\left( 1-\frac{1}{3} \right)\times \left( 1-\frac{1}{4} \right)\times \left( 1-\frac{1}{5} \right)\times ...\times \left( 1-\frac{1}{2020} \right)\times \left( 1-\frac{1}{2021} \right)$
2. b) $D=\left( 1+\frac{1}{2} \right)\times \left( 1+\frac{1}{3} \right)\times \left( 1+\frac{1}{4} \right)\times ...\times \left( 1+\frac{1}{2020} \right)\times \left( 1+\frac{1}{2021} \right)$
3. TÍNH NHANH DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT TỬ SỐ BẰNG HIỆU HAI THỪA SỐ DƯỚI MẪU
4. Kiến thức cần nhớ
5. Đặc điểm:

- Mẫu số là tích của hai thừa số được lặp lại.

- Tử số bằng hiệu của hai thừa số dưới mẫu.

Ví dụ: $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}$

Ta thấy:

+ Mẫu số là tích của hai thừa số: $1\times 2;2\times 3;3\times 4;4\times 5$.

+ Hiệu của hai thừa số dưới mẫu bằng tử số: 2 – 1 = 1; 3 – 2 = 1; 4 – 3 = 1; 5 – 4 =  1.

2. Phương pháp giải:

- Phân tích tử số thành hiệu của hai thừa số dưới mẫu.

- Tách các phân số như sau:

$\frac{b-a}{a\times b}=\frac{b}{a\times b}-\frac{a}{a\times b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

Ví dụ: $\frac{1}{2\times 3}=\frac{3-2}{2\times 3}=\frac{{\cancel{3}}}{2\times \cancel{3}}-\frac{{\cancel{2}}}{\cancel{2}\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

Sau khi biến đổi ta được các phân số có tử số bằng nhau, mẫu số lặp lại và triệt tiêu lẫn nhau.

1. Bài tập áp dụng

Dạng 1. Dãy phân số có tử số bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu

Câu 4 – Mã VinaID 136382. Tính: $C=\frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+...+\frac{3}{100\times 103}$

HD

$C=\frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+...+\frac{3}{100\times 103}$

$=\frac{4-1}{1\times 4}+\frac{7-3}{4\times 7}+\frac{10-7}{7\times 10}+...+\frac{103-100}{100\times 103}$

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{103}$

$=1-\frac{1}{103}=\frac{102}{103}$

 

Câu 5 – Mã VinaID 136383. Tính tổng: $K=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{9900}.$

HD

 

$K=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{9900}$

$K=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{99\times 100}$

$K=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$K=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$

Câu 6 – Mã VinaID 136378. Tính tổng: $C=\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\frac{2}{7\times 9}+\frac{2}{9\times 11}.$

Câu 7 – Mã VinaID 136379. Tính: $A=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+...+\frac{1}{49\times 50}.$

Câu 8 – Mã VinaID 136380. Tính tổng: $D=\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+...+\frac{2}{97\times 99}+\frac{2}{99\times 101}.$

Câu 9 – Mã VinaID 136381. Tính tổng: $E=\frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+...+\frac{3}{88\times 91}+\frac{3}{91\times 94}.$

Dạng 2. Dãy phân số cần biến đổi tử số để đưa về dạng 1

Câu 10 – Mã VinaID 136713.

Giá trị của tổng $B=\frac{1}{5\times 10}+\frac{1}{10\times 15}+\frac{1}{15\times 20}+...+\frac{1}{90\times 95}+\frac{1}{95\times 100}$ là:

(Đề thi vào 6 Marie Curie 2019 – 2020)

HD

 

\[5\times B=5\times \left( \frac{1}{5\times 10}+\frac{1}{10\times 15}+\frac{1}{15\times 20}+...+\frac{1}{90\times 95}+\frac{1}{95\times 100} \right)\]

\[5\times B=\frac{5}{5\times 10}+\frac{5}{10\times 15}+\frac{5}{15\times 20}+...+\frac{5}{90\times 95}+\frac{5}{95\times 100}\]

\[5\times B=\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{15}+\frac{1}{15}-\frac{1}{20}+...+\frac{1}{90}-\frac{1}{95}+\frac{1}{95}-\frac{1}{100}\]

\[5\times B=\frac{1}{5}-\frac{1}{100}=\frac{19}{100}\]

\[B=\frac{19}{100}:5=\frac{19}{500}\]

Câu 11 – Mã VinaID 136714.

Tính: $A=\frac{55}{11\times 16}+\frac{55}{16\times 21}+\frac{55}{21\times 26}+\frac{55}{26\times 31}+\frac{55}{31\times 36}+\frac{55}{36\times 41}$

(Đề thi vào 6 Bình Dương 2018 – 2019)

HD

$A=\frac{55}{11\times 16}+\frac{55}{16\times 21}+\frac{55}{21\times 26}+\frac{55}{26\times 31}+\frac{55}{31\times 36}+\frac{55}{36\times 41}$

$A=11\times \left( \frac{5}{11\times 16}+\frac{5}{16\times 21}+\frac{5}{21\times 26}+\frac{5}{26\times 31}+\frac{5}{31\times 36}+\frac{5}{36\times 41} \right)$

$A=11\times \left( \frac{1}{11}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{26}+\frac{1}{26}-\frac{1}{31}+\frac{1}{31}-\frac{1}{36}+\frac{1}{36}-\frac{1}{41} \right)$

$A=11\times \left( \frac{1}{11}-\frac{1}{41} \right)=11\times \frac{30}{451}=\frac{30}{41}$

Câu 12 – Mã VinaID 136384. Tính tổng: $G=\frac{1}{1\times 4}+\frac{1}{4\times 7}+\frac{1}{7\times 10}+\frac{1}{10\times 13}+\frac{1}{13\times 16}.$

Câu 13 – Mã VinaID 136385. Tính: $D=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+...+\frac{1}{99\times 101}.$

 

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/