GỢI Ý ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10 Ở HÀ NỘI

Lời giải

Tam giác $BKE$ vuông tại $K$ (do $EK\bot AB$ )
Do đó $B,K,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$ (1)
Tam giác $BDE$ vuông tại $D$ (do $AD\bot BC$ )
Do đó $B,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $B,K,E,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$

Lời giải

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{KBD}={{180}^{\circ }}$
mà $\widehat{DEK}+\widehat{KBD}={{180}^{\circ }}$ (do tứ giác $KBDE$ nội tiếp), $\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC )
nên $\widehat{DEK}=\widehat{DEC}$
Suy ra $EA$ là tia phân giác của $\widehat{CEK}$

Kẻ đường kính $AF$ của đường tròn
Khi đó $A,O,S,F$ thẳng hàng
Ta có: $\widehat{FAC}+\widehat{AFC}={{90}^{\circ }}$ (do tam giác $AFC$ vuông tại $C$ )
Mà $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}={{90}^{\circ }},\widehat{ABC}=\widehat{AFC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC ) nên
$\widehat{BAD}=\widehat{FAC}$
Xét $\vartriangle ABE$ và $\vartriangle ASC$ có
$\widehat{BAE}=\widehat{SAC}\left( \text{cmt} \right)$
$\widehat{AEB}=\widehat{ACS}$ (cùng chắn cung $AB$ )
Do đó $\vartriangle ABE\sim \vartriangle ASC\left( g.g \right)$

Suy ra $\frac{AB}{AS}=\frac{AE}{AC}$hay$AB.AC=AE.AS$

Lời giải

Gọi $G$ là giao của $CH$ và $AB$
Khi đó $CG\bot AB$
Ta có: $\widehat{BCG}+\widehat{GBC}={{90}^{\circ }},\widehat{BCE}+\widehat{DEC}={{90}^{\circ }},\widehat{DEC}=\widehat{GBC}$
Nên $\widehat{BCG}=\widehat{BCE}$
Khi đó $\vartriangle DHC=\vartriangle DEC$ (g.c.g) nên $DH=DE$

Ta có: \[\widehat{BAS}=\widehat{BAD}+\widehat{DAS},\widehat{DAC}=\widehat{DAS}+\widehat{SAC},\widehat{SAC}=\widehat{BAD}\]

Do đó $\widehat{BAS}=\widehat{DAC}$
Tứ giác $BDEK$ nội tiếp nên $\widehat{DKE}=\widehat{DBE}$
Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DAC}=\widehat{BAS}$ nên $\widehat{DKE}=\widehat{BAS}$
Xét $\vartriangle DKE$ và $\vartriangle SAB$ có

Do đó $\vartriangle DKE\backsim \vartriangle SAB\left( g.g \right)$
Suy ra $\frac{KE}{AB}=\frac{DE}{SB}$
Mà $AB=2IB,DE=\frac{1}{2}HE$ nên $\frac{KE}{2IB}=\frac{HE}{2SB}$ hay $\frac{KE}{IB}=\frac{HE}{SB}$
Mà $\widehat{KEH}=\widehat{IBS}$ nên $\vartriangle EKH\backsim \vartriangle BIS$ (c.g.c)
Do đó \[\widehat{EKH}=\widehat{BIS}\]
Mà $\widehat{EKH}+\widehat{IKH}=\widehat{IKE}={{90}^{\circ }}$ nên $\widehat{BIS}+I\widehat{KH}={{90}^{\circ }}$
Suy ra $KH\bot IS$ (đpcm)

Lời giải

Gọi số xe bổ sung là x (xe) (ĐK: \[x\text{ }\in \text{ }N*\])

Số xe sau khi bổ sung là: \[35\text{ }+\text{ }x\] (xe)

Vì cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày nên lợi nhuận mỗi xe mỗi ngày giảm\[~20x\] (nghìn đồng).

Lợi nhuận trung bình mỗi xe ban đầu là 1 triệu đồng một ngày nên lợi nhuận trung bình mỗi xe sau khi giảm là:

\[1000\text{ }\text{ }20x\] (nghìn đồng)

Tổng lợi nhuận mỗi ngày của cả đội là:

\[L\left( x \right)\text{ }=\text{ }\left( 35\text{ }+\text{ }x \right)\left( 1000\text{ }\text{ }20x \right)\] (nghìn đồng)

Để lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của:

\[L\left( x \right)\text{ }=\text{ }\left( 35\text{ }+\text{ }x \right)\left( 1000\text{ }\text{ }20x \right)\]

Ta có:

\[L\left( x \right)\text{ }=\text{ }\left( 35\text{ }+\text{ }x \right)\left( 1000\text{ }\text{ }20x \right)\]

\[L(x)=35000-700x+1000x-20{{x}^{2}}\]

\[L(x)=-20{{x}^{2}}+300x+35000\]

\[L(x)=-20({{x}^{2}}-15x)+35000\]

\[L(x)=-20\left[ {{x}^{2}}-2x\cdot \frac{15}{2}+{{\left( \frac{15}{2} \right)}^{2}} \right]+20\cdot {{\left( \frac{15}{2} \right)}^{2}}+35000\]

\[L(x)=-20{{\left( x-\frac{15}{2} \right)}^{2}}+36125\]

\[\text{V }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{  }{{\left( x-\frac{15}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall x\] nên \[-20{{\left( x-\frac{15}{2} \right)}^{2}}\le 0\forall x\]

suy ra \[L(x)=-20{{\left( x-\frac{15}{2} \right)}^{2}}+36125\le 36125\forall x\]

Dấu “=” xảy ra khi \[x=\frac{15}{2}\]

Vì \[x\text{ }\in \text{ }N*\] nên \[x\text{ }=\text{ }7\] hoặc \[x\text{ }=\text{ }8\].

Với \[x\text{ }=\text{ }7\]thì \[L\left( x \right)\text{ }=\text{ }36120\]

Với \[x\text{ }=\text{ }8\] thì \[L\left( x \right)\text{ }=\text{ }36120\]

Vậy để lợi nhuận cao nhất bằng 36120 nghìn đồng thì cần bổ sung 7 xe hoặc 8 xe.