Toán lớp 6 - Tổng các số tự nhiên theo quy luật

Ngày đăng: 02/11/2022

 

TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT

1. Lí thuyết:

+ Dãy số cách đều: Là dãy số \[{{u}_{1}},{{u}_{2}},...{{u}_{n}}\] trong đó số đứng sau hơn số đứng trước d đơn vị: \[{{u}_{k+1}}-{{u}_{k}}=d\]

Ví dụ: 1, 4, 7, 10…

+ Dãy số không cách đều: \[{{u}_{1}},{{u}_{2}},...{{u}_{n}}\] trong đó các số của dãy không cách đều nhưng được cho theo một quy luật

Ví dụ: 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Ta thường gặp bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên cách đều hoặc không cách đều.

1. Bài tập:

Ví dụ: Phát hiện quy luật và tìm số hạng thứ 100 của các dãy số sau:

1. \[5;12;21;32;...\]
2. \[1;3;7;13;21;31;...\]

Đáp số:

1. \[5;12;21;32;...\]

Quy luật: \[1\times 5;2\times 6;3\times 7;4\times 8\]

Số hạng thứ 100 là: \[100\times 104=10400\]

1. \[1;3;7;13;21;31;...\]

Quy luật: Số thứ 2 bằng số thứ nhất cộng 2, số thứ 3 bằng số thứ 2 cộng 4, số thứ 4 bằng số thứ 3 cộng 6. Vậy số thứ 100 bằng số thứ 99 cộng với \[2\times 99\]

\[\begin{align}

  & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+2.1 \\

 & {{a}_{3}}={{a}_{2}}+2.2 \\

 & ... \\

 & {{a}_{100}}={{a}_{99}}+2.99 \\

\end{align}\]

Cộng các số hạng theo vế ta được: \[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...{{a}_{100}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{99}}+2.\left( 1+2+3+...+99 \right)\]

Do đó: \[{{a}_{100}}={{a}_{1}}+2.99.50=9901\]

Ví dụ: Nêu quy luật và lập số hạng tổng quát của dãy số sau: $0;7;26;63;124;215;...$ Số thứ 100 của dãy là số nào?

HD:

Số thứ 1: ${{a}_{1}}=0={{1}^{3}}-1$

Số thứ 2: ${{a}_{2}}=7={{2}^{3}}-1$

Số thứ 3: ${{a}_{3}}=26={{3}^{3}}-1$

Số thứ 4: ${{a}_{4}}=63={{4}^{3}}-1$

…

Số thứ $n$: ${{a}_{n}}={{n}^{3}}-1$

Khi đó, số thứ 100 của dãy là: ${{a}_{100}}={{100}^{3}}-1=999999$

Ví dụ: Nêu quy luật và lập số hạng tổng quát của dãy số sau: $1;6;15;28;45;66;91;...$ Tìm số hạng thứ 200 của dãy số.

HD:

Số thứ 1: ${{a}_{1}}=1.1$

Số thứ 2: ${{a}_{2}}=6=2.3$

Số thứ 3: ${{a}_{3}}=15=3.5$

Số thứ 4: ${{a}_{4}}=28=4.7$

Số thứ 5: ${{a}_{5}}=45=5.9$

Số thứ 6: \[{{a}_{6}}=66=6.11\]

Số thứ 7: ${{a}_{7}}=7.13$

…

Số thứ $n$: ${{a}_{n}}=n\left( 2n-1 \right)$

Số hạng thứ 200 của dãy số là: ${{a}_{200}}=200\left( 2.200-1 \right)=79800$

Ví dụ: Tính tổng

1. \[A=1+3+5+...+2017\]
2. \[B=5+8+11+...+2018\]và tìm số hạng thứ 100 của tổng
3. \[C=4-6+8-10+12-...+2016\]

Ví dụ: Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số chẵn liên tiếp

Ví dụ: Tính tổng

1. \[C=1\times 2+2\times 3+3\times 4+...+49\times 50\]
2. \[D=9\times 11+11\times 13+13\times 15...+49\times 51\]
3. \[E=1\times 2+2\times 3+3\times 4+...+n\left( n+1 \right)\]

Ví dụ: Tính tổng \[H=1\times 4+2\times 5+...+n\left( n+3 \right)\]

ĐS: \[\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+5 \right)}{3}\]

Ví dụ: Tính tổng:

1. \[H=1\times 5+2\times 6+...+50\times 54\]
2. \[I={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]

Đáp số:

1. Ta có \[n\left( n+4 \right)=n\left[ \left( n+1 \right)+3 \right]=n\left( n+1 \right)+3n\]

Vậy \[H=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}+3\frac{n\left( n+1 \right)}{2}=n\left( n+1 \right)\left( \frac{n+2}{3}+\frac{3}{2} \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+13 \right)}{6}\]

1. \[I={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]

Ta có: \[\begin{align}

  & {{n}^{2}}=n\left[ \left( n-1 \right)+1 \right]=\left( n-1 \right)n+n \\

 & {{\left( n-1 \right)}^{2}}=\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)+\left( n-1 \right) \\

 & ... \\

 & {{3}^{2}}=2.3+3 \\

 & {{2}^{2}}=1.2+2 \\

\end{align}\]

Vậy \[\begin{align}

  & I={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\left[ 1.2+2.3+...+\left( n-1 \right)n \right]+\left[ 1+2+3+...+n \right] \\

 & =\frac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{3}+\frac{n\left( n+1 \right)}{2}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6} \\

\end{align}\]

Ví dụ: Tính tổng \[I={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]

ĐS \[\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\]

Ví dụ: Tính tổng \[J={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{n}^{3}}\]

ĐS \[{{\left( \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right)}^{2}}\]

Ví dụ: Tính tổng \[K={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}\]

ĐS \[K={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{\left( 2n \right)}^{2}}-{{2}^{2}}-...-{{\left( 2n \right)}^{2}}\]

\[=\frac{2n\left( 2n+1 \right)\left( 4n+1 \right)}{6}-2\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}=\frac{2{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{3}\]

Ví dụ: Tính tổng

1. \[F=1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+...+98\times 99\times 100\]
2. \[G=1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\]

Ví dụ: Tính \[K=1\times 2\times 5+2\times 3\times 6+...+n\left( n+1 \right)\left( n+4 \right)\]

Đáp số:

\[n\left( n+1 \right)\left( n+4 \right)=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)+2n\left( n+1 \right)\]

Vậy \[K=1\times 2\times 5+2\times 3\times 6+...+n\left( n+1 \right)\left( n+4 \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}+2\times \frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}\]

Ví dụ: Tính tổng

1. \[L=2+6+18+...+486\]
2. \[M=1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{n}}\] theo q và n.

Ví dụ : Chứng minh rằng \[N=1+2.6+3\times {{6}^{2}}+...+{{1006}^{99}}<20\times {{6}^{100}}\]

ĐS \[N=\frac{499\times {{6}^{100}}+1}{25}\]

Ví dụ: Tính tổng: S_n = 1+ 2p +3p ² + .... + ( n+1 ) pⁿ , ( p $\ne $1)

Ta có :   p.S_n  = p + 2p ²  + 3p³ + ..... + ( n+ 1) p ^{n +1}

       = 2p –p +3p ² –p² + 4p³–p³ + ...... + (n+1) pⁿ  - pⁿ + (n+1)pⁿ –pⁿ + ( n+1) pⁿ⁺¹

= ( 2p + 3p² +4p³ + ...... +(n+1) pⁿ ) – ( p +p + p + .... pⁿ ) + ( n+1) pⁿ⁺¹

= ( 1+ 2p+ 3p²+4p³+ ....... + ( n+1) pⁿ  ) – ( 1 + p+ p² + .... + p ⁿ) + ( n +1 ) pⁿ⁺¹

p_.S_n=S_n- _{$\frac{{{P}^{n+1}}-1}{P-1}+(n+1){{P}^{n+1}}$}

 Lại có (p-1)S_n = (n+1)pⁿ⁺¹  - $\frac{{{p}^{n+1}}-1}{P-1}$

• S_n = $\frac{(n+1){{P}^{n+1}}}{p-1}-\frac{{{p}^{n+1}}-1}{{{(P-1)}^{2}}}$

Ví dụ: Tính tổng \[E=1\times 2\times 3\times 4+2\times 3\times 4\times 5+3\times 4\times 5\times 6+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\]

Đáp số: Nhân cả 2 vế với 5 ta có:

\[\begin{align}

  & 5E=1\times 2\times 3\times 4\times 5+2\times 3\times 4\times 5\times 5+3\times 4\times 5\times 6\times 5+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\times 5 \\

 & 5E=1\times 2\times 3\times 4\times \left( 5-0 \right)+2\times 3\times 4\times 5\left( 6-1 \right)+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left[ \left( n+4 \right)-\left( n-1 \right) \right] \\

 & 5E=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left( n+4 \right) \\

 & \Rightarrow E=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)}{5} \\

\end{align}\]

Các bài toán vận dụng về “Tổng các số tự nhiên theo quy luật” đã được thầy giáo Trần Tuấn Việt  hướng dẫn trong video, phụ huynh và các em tham khảo để hiểu rõ hơn dạng bài tập này ạ.

 

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tập thật tốt !

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/