Toán 9 - Rút gọn biểu thức chứa chữ và các bài toán liên quan.

Ngày đăng: 17/11/2022

 

Toán 9 - Rút gọn biểu thức chứa chữ và các bài toán liên quan.

- Tìm điều kiện xác định và rút gọn chính xác

- Tìm các điều kiện phụ phát sinh

- Tổng hợp ra điều kiện

- Thực hiện yêu cầu của bài toán

- Với các bài toán tìm x nhớ kết hợp với điều kiện tổng hợp

Bổ trợ về bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

* Bất đẳng thức: \[A\ge B\Leftrightarrow A-B\ge 0\]

* Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn: \[Ax+B\ge 0\]

Quy tắc biến đổi tương đương bất đẳng thức, bất phương trình:

* Quy tắc chuyển vế đổi dấu

* Quy tắc nhân với số dương, số âm

Câu 1. Cho biểu thức \[C=\left( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1} \right)\]

1. a) Tìm điều kiện xác định và và rút gọn C
2. b) Tìm a để \[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\]

HD:

1. a) \[C=\frac{1}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}:\frac{3}{\left( \sqrt{a}-2 \right)\left( \sqrt{a}-1 \right)}=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]
2. b) \[C=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]

Để có \[\sqrt{C}\] thì \[\sqrt{a}-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge 4\]

\[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow C\ge \frac{1}{6}\Leftrightarrow C-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\ge 0\Leftrightarrow a\ge 16\]

Câu 2. Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left( \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2} \right)\], với \[x>0\].

1. a) Rút gọn biểu thức \[A\].
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để \[A\ge \frac{1}{3\sqrt{x}}\].

Câu 3.  Cho biểu thức $P=\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a} \right):\left( \frac{{{a}^{2}}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right)\left( \begin{align}

  & a>0 \\

 & a\ne 1 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $P$
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $a$để $P>2$.
3. c) Tìm a nguyên để P lớn nhất

HD:

1. a) Với $a>0,a\ne 1$ ta có:

$\begin{align}

  & P=\left( \frac{{{\left( \sqrt{a}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}+4\sqrt{a}\left( a-1 \right)}{\left( \sqrt{a}-1 \right)\left( \sqrt{a}+1 \right)} \right):\left( \frac{a\sqrt{a}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{\sqrt{a}+1} \right) \\

 & =\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1+4a\sqrt{a}-4\sqrt{a}}{a-1}:a\sqrt{a} \\

 & =\frac{4a\sqrt{a}}{a-1}.\frac{1}{a\sqrt{a}}=\frac{4}{a-1} \\

\end{align}$

1. b) Tìm a để $P>2$

$P>2\Leftrightarrow \frac{4}{a-1}>2\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-1>0\Leftrightarrow \frac{3-a}{a-1}>0\Leftrightarrow 1

Vậy $12$

1. c) $P=\frac{4}{a-1}$

Ta thấy với $a\ge 0,a\ne 1,a\in Z\Rightarrow \left[ \begin{align}

  & a=0\Rightarrow P<0 \\

 & a>1\Leftrightarrow a\ge 2\Rightarrow P\le \frac{4}{2-1}=4 \\

\end{align} \right.$ nên P lớn nhất khi $a=2$.

Vậy ${{P}_{max}}=4$ khi $a=2$.

Câu 4. Cho biểu thức $A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{x-3+\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2}\left( \begin{align}

  & x\ge 1 \\

 & x\ne 2 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $A$
2. b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A>2$

HD:

1. a) Với ĐK $x\ge 1,x\ne 2$ ta có

$\begin{align}

  & A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2} \\

 & =\frac{x+6\sqrt{x-1}-8}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+7 \right)}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2} \\

\end{align}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}.$

1. b) $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}>2\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+7>2\left( \sqrt{x-1}+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<3\Leftrightarrow x<5$

Kết hợp điều kiện suy ra x.

 

Câu 5. Cho hai biểu thức \[A=\frac{2x-8\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\] và \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\] với \[x\ge 0;x\ne 16\].

1. a) Rút gọn biểu thức B
2. b) Đặt P = A.B. Tìm x biết \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

HD:

1. a) \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\]

\[\begin{align}

  & B=\left( \frac{2\left( \sqrt{x}+4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}-\frac{5-\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4} \\

 & B=\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}\times \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}=\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

\end{align}\]

1. b)

\[\begin{align}

  & P=A.B=\frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\sqrt{x}+5}.\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

 & P=\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \\

\end{align}\]

Điều kiện tồn tại: \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

$\left\{ \begin{align}

  & 2P-1\ge 0 \\

 & P-2\ge 0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & P\ge \frac{1}{2} \\

 & P\ge 2 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow P\ge 2\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\ge 2\Leftrightarrow 6\sqrt{x}\ge 2\sqrt{x}+10\Leftrightarrow 4\sqrt{x}\ge 10$

$\sqrt{x}\ge \frac{5}{2}\Leftrightarrow x\ge \frac{25}{4}$. Vậy điều kiện của bài toán là $x\ge \frac{25}{4}$ và $x\ne 16$

Khi đó:

\[\sqrt{2P-1}=P-2\Leftrightarrow 2P-1={{\left( P-2 \right)}^{2}}={{P}^{2}}-4P+4\Leftrightarrow {{P}^{2}}-6P+5=0\Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( P-5 \right)=0\]

\[\begin{align}

  & \Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & P=1(loai) \\

 & P=5 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}=5\Leftrightarrow 6\sqrt{x}=5\sqrt{x}+25 \\

 & \Leftrightarrow \sqrt{x}=25\Leftrightarrow x=625 \\

\end{align}\]

 

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!.

Tác giả: Vinastudy