Toán 8 - Phép nhân đa thức

Ngày đăng: 17/11/2022

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

PHÉP NHÂN ĐA THỨC

A. Lí thuyết

Phép nhân đơn thức với đa thức:

       $A\left( B+C \right)=AB+AC$

Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức nhân với từng hạng tử của đa thức rồi cộng kết quả lại

Chú ý: Quy tắc dấu và dấu ngoặc

Ví dụ. Thực hiện phép tính: $\frac{1}{2}{{x}^{2}}y\left( 2{{x}^{3}}-\frac{2}{5}x{{y}^{2}}-1 \right)$

\[\frac{1}{2}{{x}^{2}}y\left( 2{{x}^{3}}-\frac{2}{5}x{{y}^{2}}-1 \right)={{x}^{5}}y-\frac{1}{5}{{x}^{3}}{{y}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}y\]

Ví dụ. Thực hiện phép tính: \[\left( -2x \right)\left( {{x}^{3}}3{{x}^{2}}x+1 \right)\]

Phép nhân đơn thức với đa thức:

$\left( A+B \right)\left( C+D \right)=AC+AD+BC+BD$

Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức ta lấy  từng hạng tử của đa thức này nhân với đa thức kia rồi cộng kết quả lại.

Chú ý: Quy tắc dấu và dấu ngoặc

Ví dụ. Thực hiện phép tính: $\left( 12x-5y \right)\left( 2x-y+1 \right)$

$\left( 12x-5y \right)\left( 2x-y+1 \right)=24{{x}^{2}}-22xy+5{{y}^{2}}+12x-5y$

Ví dụ. Thực hiện phép tính: $\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( 2x+y \right)\left( 2x-y \right)$

$\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( 2x+y \right)\left( 2x-y \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$

$\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( 2x+y \right)\left( 2x-y \right)=2{{x}^{4}}{{y}^{2}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{4}}$

B. Bài tập vận dụng

Dạng 1. Thực hiện phép tính

Câu 1. Làm tính nhân:

1. a) $3{{x}^{2}}\left( 5{{x}^{3}}-7x+\frac{2}{3} \right)$ b) ${{\left( -\frac{3}{2}xy \right)}^{2}}\left( 4x-6y-z \right)$

HD:

1. a) $3{{x}^{2}}\left( 5{{x}^{3}}-7x+\frac{2}{3} \right)=3{{x}^{2}}.5{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.7x+3{{x}^{2}}.\frac{2}{3}$$=15{{x}^{5}}-21{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}.$
2. b) \[{{\left( -\frac{3}{2}xy \right)}^{2}}\left( 4x-6y-z \right)=\frac{9}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}(4x-6y-z)=\frac{9}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}.4x-\frac{9}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}.6y-\frac{9}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}.z\]

                                        $=9{{x}^{3}}{{y}^{2}}-\frac{27}{2}{{x}^{2}}{{y}^{3}}-\frac{9}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}z$.

Câu 2. Làm tính nhân

1. a) $(4{{x}^{2}}-6x+9)(2x+3)$ b) $(-3{{x}^{2}}+5x-1)\left( 2{{x}^{2}}-x+2 \right)$

HD:

9. a) $(4{{x}^{2}}-6x+9)(2x+3)=4{{x}^{2}}.2x+4{{x}^{2}}.3-6x.2x-6x.3+9.2x+9.3$

$=8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}-18x+18x+27=8{{x}^{3}}+27$.

1. b) $(-3{{x}^{2}}+5x-1)\left( 2{{x}^{2}}-x+2 \right)=-3{{x}^{2}}.2{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}.(-x)-3{{x}^{2}}.2+5x.2{{x}^{2}}+5x.(-x)+5x.2-2{{x}^{2}}+x-2$$=-6{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+10x-2{{x}^{2}}+x-2$ $=-6{{x}^{4}}+13{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+11x-2$.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức – Tính giá trị của biểu thức

Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau

1. a) $A=2x(10{{x}^{2}}-5x-2)-5x(4{{x}^{2}}-2x-1)$
2. b) $B=(2{{x}^{2}}+y)(x-6xy)-2x(x-3{{y}^{2}})(x+1)+6{{x}^{2}}y(y-2x)$

HD:

1. a) $A=20{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-4x-\left( 20{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-5x \right)=x$
2. b) $B=(2{{x}^{2}}+y)(x-6xy)-2x(x-3{{y}^{2}})(x+1)+6{{x}^{2}}y(y-2x)$

$=2{{x}^{2}}.x-2{{x}^{2}}.6xy+y.x-y.6xy-2x({{x}^{2}}+x-3x{{y}^{2}}-3{{y}^{2}})+6{{x}^{2}}y.y-6{{x}^{2}}y.2x$

$=2{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}y+xy-6x{{y}^{2}}-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}+6x{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}-12{{x}^{3}}y$

$=-24{{x}^{3}}y+12{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy-2{{x}^{2}}$.

Câu 4. Tính giá trị của biểu thức: $M=15.\frac{1}{215}.\frac{1}{217}+\frac{4}{215}.\frac{216}{217}-\frac{11}{215.217}+\frac{3}{43}$

HD: Chú ý sự giống nhau của các con số.

$M=15.\frac{1}{215}.\frac{1}{217}+\frac{4}{215}.\frac{216}{217}-\frac{11}{215.217}+\frac{3}{43}$

Các phân số xuất hiện đều có mẫu số là 215, 217 hoặc 215.217. Đặt ẩn phụ làm tính với biểu thức chứa chữ.

Đặt $x=\frac{1}{215}\,;\,y=\frac{1}{217}$ ta có: $\frac{216}{217}=1-\frac{1}{217}=1-y$; $\frac{3}{43}=\frac{15}{215}=15x$

Khi đó: $M=15xy+4x(1-y)-11xy+15x$ \[=15xy+4x-4xy-11xy+15x=19x=\frac{19}{215}\].

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức hoặc yêu cầu khác

Câu 5. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của x, y

1. a) $(2x-y)(4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}})-8x({{x}^{2}}-y)-y(8x-{{y}^{2}})$;
2. b) $(x+2y)(3x-y)-3x(x+y+1)-2y(x-y)+3(x+2)$.

HD: Thực hiện phép tính rồi chỉ ra biểu thức là số thực

1. a) $(2x-y)(4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}})-8x({{x}^{2}}-y)-y(8x-{{y}^{2}})$$=(8{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}y+2x{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}y-2x{{y}^{2}}-{{y}^{3}})-(8{{x}^{3}}-8xy)-(8xy-{{y}^{3}})$

$=8{{x}^{3}}-{{y}^{3}}-8{{x}^{3}}+8xy-8xy+{{y}^{3}}=0$ (không phụ thuộc vào các biến $x,\,y$).

1. b) $(x+2y)(3x-y)-3x(x+y+1)-2y(x-y)+3(x+2)$

$=3{{x}^{2}}-xy+6xy-2{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}-3xy-3x-2xy+2{{y}^{2}}+3x+6=6$

 (không phụ thuộc vào các biến $x,\,y$).

Câu 6. Cho $x,\,y\in \,\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng:

23. a) Nếu $7x+y$ chia hết cho 23 thì $-2x+3y$ chia hết cho 23.
24. b) Nếu $5x+3y$ chia hết cho 17 thì $8x-2y$ chia hết cho 17.

HD: Đưa ra 2 phương án

a)

Cách 1

“Chìa khóa vàng: Nếu $kA+pB\,\,\vdots \,\,m$ mà $A\vdots \,m$ và $UCLN(p,m)=1$ thì $B\,\,\vdots \,\,m$.

Như vậy cần chọn k và p sao cho $k\left( 7x+y \right)+p(-2x+3y)\,\,\vdots \,\,23$ và $UCLN\left( p,23 \right)=1$

Giải:

Vì $7x+y\,\,\vdots \,\,23$ và $(3,23)=1$ nên $3(7x+y)=21x+3y\,\,\vdots \,23$

Ta có: $21x+3y=23x+(-2x+3y)\,\,\,\vdots \,\,23$

Mà $23.x\,\,\vdots \,\,23$ nên $-2x+3y\,\,\vdots \,\,23$ (đpcm).

Cách 2

Sử dụng định nghĩa về sự chia hết: $A\vdots B$ thì $A=B.q\left( q\in Z \right)$

Vì $7x+y\,\,\vdots \,\,23$ nên $7x+y=23k\,\,(k\in \,\mathbb{Z})$ $\Rightarrow \,\,y=23k-7x$.

Ta có: $-2x+3y=-2x+3(23k-7x)=-2x+69k-21x=-23x+69k=23(-x+3k)\,$

Vì $23(-x+3k)\,\,\vdots \,\,23\,\forall \,x,k\,\in \,\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \,-2x+3y\,\,\vdots \,23$ (đpcm).

1. b)

Cách 1

Vì $5x+3y\,\,\vdots \,17\,$và $(5,\,17)=1$ nên $5(5x+3y)=25x+15y\,\,\vdots \,\,17$

Ta có: $25x+15y=17(x+y)+(8x-2y)\,\,\vdots \,\,17$

Mà $17(x+y)\,\,\vdots \,\,17\,\,\forall \,x,y\,\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \,\,8x-2y\,\,\vdots \,\,17$ (đpcm).

Cách 2.

Vì $5x+3y\,\,\vdots \,17\,$nên $5x+3y=17k\,\,(k\in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow \,\,3y=-5x+17k$.

Ta có: $8x-2y=8x-17y+15y=8x-17y+5.3y$

            $=8x-17y+5.(-5x+17k)=-17x-17y+85k=17(-x-y+5)$.

Vì $17(-x-y+5)\,\,\vdots \,17$ nên $8x-2y\,\,\vdots \,17$ (đpcm).

1. Bài tập về nhà

Bài 1. Làm tính nhân

1. a) $\frac{-2}{3}x{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+6{{y}^{2}}-3{{y}^{3}} \right)$
2. b) $\left( 12x-5y \right)\left( 2x-y+1 \right)$

HD:

1. a) $\frac{-2}{3}x{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+6{{y}^{2}}-3{{y}^{3}} \right)=\frac{-2}{3}{{x}^{3}}{{y}^{2}}+\frac{2}{3}{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4x{{y}^{4}}+2x{{y}^{5}}$
2. b) $\left( 12x-5y \right)\left( 2x-y+1 \right)=24{{x}^{2}}-22xy+5{{y}^{2}}+12x-5y$

Bài 2. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

1. a) $A=\left( 2x+5 \right)\left( 3x+2 \right)-\left( 3x+5 \right)\left( 2x+3 \right)$
2. b) $B=x(2\text{x}+1)-{{x}^{2}}(x+2)+{{x}^{3}}-x+3$

HD:

1. a) $A=\left( 6{{x}^{2}}+15x+4x+10 \right)-\left( 6{{x}^{2}}+10x+9x+15 \right)=-5$
2. b) $B=\left( 2{{x}^{2}}+x \right)-\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)+{{x}^{3}}-x+3=3$

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức: $N=\frac{3}{110}.\left( 2+\frac{1}{233} \right)-\frac{1}{110}.\frac{232}{233}-\frac{4}{110.233}$

HD:

$N=\frac{3}{110}.\left( 2+\frac{1}{233} \right)-\frac{1}{110}.\frac{232}{233}-\frac{4}{110.233}$

Đặt $\frac{1}{110}=x\,;\,\,\frac{1}{233}=y$ ta có: $\frac{232}{233}=1-\frac{1}{233}=1-y$.

Khi đó: $N=3x(2+y)-x(1-y)-4xy=6x+3xy-x+xy-4xy$ $=5x=\frac{5}{110}=\frac{1}{22}.$

Bài 4. Cho $x,\,y\in \,\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng:

1. a) Nếu $3{{x}^{2}}+2y\,\,\,\vdots \,\,11$ thì $15{{x}^{2}}-12y\,\,\,\vdots \,\,11$.
2. b) Nếu $2x+3{{y}^{2}}\,\,\vdots \,7$ thì $6x+16{{y}^{2}}\,\,\vdots \,7$.

HD:

1. a) Vì $3{{x}^{2}}+2y\,\,\,\vdots \,\,11$ nên $3{{x}^{2}}+2y=11k\,\,(k\in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow \,2y=-3{{x}^{2}}+11k$.

Ta có: $15{{x}^{2}}-12y\,=15{{x}^{2}}-6.2y=15{{x}^{2}}-6(-3{{x}^{2}}+11k)$ 

                            $=15{{x}^{2}}+18{{x}^{2}}-66k=33{{x}^{2}}-66k=11(3{{x}^{2}}-6k)$

Vì $11(3{{x}^{2}}-6k)\,\vdots \,11\,\,\forall \,x,\,k\in \,\mathbb{Z}$ nên $15{{x}^{2}}-12y\,\,\vdots \,\,11$ (đpcm).

1. b) Vì $2x+3{{y}^{2}}\,\,\vdots \,7$ nên $2x+3{{y}^{2}}=7k\,(k\in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow \,2x=-3{{y}^{2}}+7k$.

Ta có: $6x+16{{y}^{2}}=3.2x+16{{y}^{2}}=3.(-3{{y}^{2}}+7k)+16{{y}^{2}}$

   $=-9{{y}^{2}}+21k+16{{y}^{2}}=7{{y}^{2}}+21k=7({{y}^{2}}+3k)$.

Vì $7({{y}^{2}}+3k)\,\,\vdots \,\,7\,\,\forall y,k\,\in \,\mathbb{Z}$ nên $6x+16{{y}^{2}}\,\vdots 7$ (đpcm).

Bài 5.

17. a) Cho biểu thức $A=5x+2y$ và $B=9x+7y$. Chứng minh rằng nếu các số nguyên x, y thỏa mãn $A=5x+2y$chia hết cho 17 thì $B=9x+7y$cũng chia hết cho 17.
18. b) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia 3 dư 1; b chia 3 dư 2. Chứng minh rằng a.b chia cho 3 dư 2.

Đáp án.

1. a) Xét biểu thức

$5A+B=5(5x+2y)+(9x+7y)=34x+17y\vdots 17$ Mà $A\vdots 17\Rightarrow 5A\vdots 17\Rightarrow B\vdots 17$

1. b) Đặt a, b như sau

$a=3p+1,b=3q+2\left( p,q\in N \right)$

$\begin{align}

  & ab=(3p+1)(3q+2)=9pq+3(p+q)+2 \\

 & \Rightarrow ab=3m+2 \\

\end{align}$

Suy ra đpcm

 

1. Bài tập.
2. Dạng 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số

Câu 1. Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

1. a) $121\,;\,\,169\,;\,\,225$.
2. b) $81\,;\,\,0,04\,;\,\,\frac{4}{9}$
3. Dạng 2: So sánh căn bậc hai

Câu 2. So sánh các cặp số sau

3. a) $2$ và $\sqrt{5}.$ b) $\sqrt{7}$ và $3.$         c) $2$ và $1+\sqrt{2}.$

Câu 3. So sánh các cặp số sau

1. a) $1$ và $\sqrt{3}-1.$ b) $2\sqrt{31}$ và $10.$ c) $-3\sqrt{11}$ và $-12.$
2. Dạng 3: Tìm điều kiện của căn thức

Câu 4. Tìm các giá trị của $x$  để biểu thức sau có nghĩa

1. a) $\sqrt{2x-1}$ b) $\frac{1}{\sqrt{x}-7}$ c) $\sqrt{\frac{1}{x-1}}$                d) $\sqrt{\frac{-3}{x+2}}$

Câu 5. Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức sau có nghĩa

1. a) $\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}$ b) $\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+3}$
2. Dạng 4: Rút gọn biểu thức

Câu 6. Rút gọn.

1. a) \[\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{11} \right)}^{2}}}\] b) \[\sqrt{{{(4-\sqrt{17})}^{2}}}\]
2. c) \[3.\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}\]với $a<2$ d) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

Câu 7. Rút gọn biểu thức

1. a) \[A={{\left( \sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}} \right)}^{2}}\]
2. b) \[B=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\]

Câu 8. Rút gọn biểu thức

1. a) \[A=6x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}\]
2. b) $B=\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}$

Câu 9. Rút gọn biểu thức

1. a) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}$
2. b) $\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}-\sqrt{x-3}$
3. Dạng 5: Giải phương trình

Câu 10. Giải phương trình 

1. a) $5\sqrt{2x}+1=21$ b) $\sqrt{{{(x-5)}^{2}}}=2$

Câu 11. Giải phương trình

1. a) \[\sqrt{x+4}=x+2\] b) \[\sqrt{\frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=0\]

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!..

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/