Toán 7 - Số hữu tỉ: Tập Q các số hữu tỉ, Cộng trừ số hữu tỉ.

Ngày đăng: 10/11/2022

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

Số hữu tỉ: Tập Q các số hữu tỉ, Cộng trừ số hữu tỉ.

A. Lí thuyết.

1. Số hữu tỉ

+ Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng \[\frac{p}{q}\left( p,q\in Z,q\ne 0 \right)\]

VD: \[\frac{5}{6};\frac{-7}{4};2;-5;0\]

+ Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q: Tập hợp Q có vô số phần tử.

+ Tập hợp các số tự nhiên N: Cũng là các số hữu tỉ; $N\subset Q$ ( N là tập hợp con của Q).

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

+ Các số nguyên ta đã biết biểu diễn trên trục số

+ Tương tự cách biểu diễn số nguyên ta biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{p}{q}\left( p,q\in {{Z}^{+}},q\ne 0 \right)\]như sau:

“ Chia đoạn có độ dài 1 đơn vị thành q phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì điểm biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{p}{q}\] cách gốc 0 p đơn vị mới”.

+ Với số hữu tỉ \[\frac{p}{q}\] có tử số và mẫu số trái dấu ta biểu diễn tương tự nhưng chia đoạn 1 đơn vị bên trái gốc 0.

VD: Để biểu diễn số hữu tỉ \[\frac{3}{5}\] ta chia đoạn 1 đơn vị thành 5 phần, điểm biểu diễn số \[\frac{3}{5}\] như hình vẽ.

3. So sánh số hữu tỉ:

So sánh 2 số hữu tỉ: Đưa về dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

+ Phân số âm bé hơn 0 bé hơn phân số dương.

+ So sánh hai phân số: Đưa về cùng mẫu dương rồi so sánh tử số, phân số nào có tử số nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

            VD:  Để so sánh $\frac{3}{4};\frac{4}{5}$, ta đưa về cùng mẫu: \[\frac{3}{4}=\frac{15}{20}<\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\].

4. Cộng trừ hai số hữu tỉ.

+ Đưa về dạng phân số rồi quy đồng

$\begin{align}

  & x+y=\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}; \\

 & x-y=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m} \\

\end{align}$

            VD: \[\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}\]; $0,5+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$

5. Quy tắc chuyển vế:

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó

\[\forall x,\,y,\,z\in \mathbb{Q}:\,\,\,\,\,\,\,\,x+y=z\Rightarrow x=z-y.\]

            VD: Tìm x biết $x+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2-3}{2.3}=\frac{-1}{6}$.

B. Bài tập

1. Dạng 1: Điền kí hiệu, biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.

Câu 1. Điền kí hiệu vào ô trống,

1. a) $-4\mathbb{N}$. $-4\mathbb{Z}$. $-4Q$
2. b) $\frac{-4}{5}\mathbb{N}$ $\frac{-4}{5}\mathbb{Z}$             $\frac{-4}{5}Q$
3. c) $N\mathbb{Z}\mathbb{Q}$

HD:

1. a) $-4\mathbb{N}$. $-4\mathbb{Z}$. $-4Q$
2. b) $\frac{-4}{5}\mathbb{N}$ $\frac{-4}{5}\mathbb{Z}$             $\frac{-4}{5}Q$
3. c) $N\mathbb{Z}\mathbb{Q}$

Câu 2. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số $\frac{1}{3};\frac{-1}{3};\,\,\,\frac{5}{4};\frac{-5}{4};\,\,\frac{13}{5};-2\frac{3}{5}$

HD:

Chú ý: $-2\frac{3}{5}=-\left( 2\frac{3}{5} \right)=-\frac{13}{5}$

2. Dạng 2: So sánh các số hữu tỉ

Câu 1. Trong các phân số $\frac{6}{-15};\frac{4}{-12};\frac{-14}{35};\frac{4}{-10};\frac{17}{-40}$, những phân số bằng số hữu tỉ $\frac{2}{-5}$ là:

HD:

+ Ta thấy phân số $\frac{2}{-5}$: Là phân số tối giản.

mục tiêu: Tối giản các phân số đã cho rồi so sánh.

+ Ta có

$\frac{6}{-15}=\frac{6:3}{-15:3}=\frac{2}{-5}$

$\frac{-14}{35}=\frac{-14:\left( -7 \right)}{35:\left( -7 \right)}=\frac{2}{-5}$

$\frac{4}{-10}=\frac{4:2}{-10:2}=\frac{2}{-5}$

Câu 2. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần: \[\frac{-5}{9};\frac{-5}{7};\frac{-5}{2};\frac{-5}{4};\frac{-5}{8};\frac{-5}{3};\frac{-5}{11}.\]

HD:

Vì $11>9>8>7>4>3>2$ nên $\frac{5}{2}>\frac{5}{3}>\frac{5}{4}>\frac{5}{7}>\frac{5}{8}>\frac{5}{9}>\frac{5}{11}.$

Vậy $\frac{-5}{11}>\frac{-5}{9}>\frac{-5}{8}>\frac{-5}{7}>\frac{-5}{4}>\frac{-5}{3}>\frac{-5}{2}.$

Câu 3. Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $\frac{4}{9};\frac{-2}{3};\frac{3}{7};0;\frac{-3}{4}.$

HD:

PP: Phân loại các phân số âm, các phân số dương. Sau đó sắp xếp các phân số âm, các phân số dương.

+ Ta có: $\frac{-2}{3}$ và $\frac{-3}{4}$ là số hữu tỉ âm, luôn nhỏ hơn 0; $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}>\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{-3}{4}<\frac{-2}{3}.$

+ $\frac{4}{9}$ và $\frac{3}{7}$ là số hữu tỉ dương, luôn lớn hơn 0; $\frac{3}{7}=\frac{3.9}{7.9}<\frac{4.7}{7.9}=\frac{4}{9}$

Vậy $\frac{-3}{4}<\frac{-2}{3}<0<\frac{3}{7}<\frac{4}{9}.$

3. Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Câu 1. Tính

1. a) $\frac{1}{12}-\left( -\frac{1}{6}-\frac{1}{4} \right)$ b) $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}-\left( -\frac{3}{5} \right)+\frac{1}{64}-\frac{2}{9}-\frac{1}{36}+\frac{1}{15}$

HD:

1. a) $\frac{1}{12}-\left( -\frac{1}{6}-\frac{1}{4} \right)=\frac{1}{12}-\frac{-5}{12}=\frac{1}{2}.$
2. b) $\frac{1}{3}-\frac{3}{4}-\left( -\frac{3}{5} \right)+\frac{1}{64}-\frac{2}{9}-\frac{1}{36}+\frac{1}{15}$$=\left( \frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{1}{15} \right)-\left( \frac{3}{4}+\frac{2}{9}+\frac{1}{36} \right)+\frac{1}{64}$$=1-1+\frac{1}{64}=\frac{1}{64}.$

Câu 2. Cho $a=1;b=10;c=100;d=1000$. Tính:

$M=\left( a+b+c-d \right)+\left( a+b-c+d \right)+\left( a-b+c+d \right)+\left( -a+b+c+d \right).$

HD:

$M=\left( a+b+c-d \right)+\left( a+b-c+d \right)+\left( a-b+c+d \right)+\left( -a+b+c+d \right)$

$=2\left( a+b+c+d \right)=2.\left( 1+10+100+1000 \right)=2222.$

Câu 3. Tính

99. a) $P=\frac{1}{99}-\frac{1}{99.98}-\frac{1}{98.97}-\frac{1}{97.96}-...-\frac{1}{3.2}-\frac{1}{2.1}$
100. b) $\frac{1313}{1515}+\frac{-1011}{5055}$

HD:

99. a) $P=\frac{1}{99}-\frac{1}{99.98}-\frac{1}{98.97}-\frac{1}{97.96}-...-\frac{1}{3.2}-\frac{1}{2.1}$

$=\frac{1}{99}-\left( \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{97.98}+\frac{1}{98.99} \right)$

13. b) $\frac{1313}{1515}+\frac{-1011}{5055}=\frac{13.101}{15.101}+\frac{-1011}{5.1011}=\frac{13}{15}+\frac{-1}{5}=\frac{13}{15}+\frac{-3}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

$=\frac{1}{99}-\left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{98}+\frac{1}{98}-\frac{1}{99} \right)$

$=\frac{1}{99}-\left( 1-\frac{1}{99} \right)=\frac{1}{99}-\frac{98}{99}=\frac{-97}{99}.$

4. Dạng 4: Tìm x

Câu 1. Tìm số nguyên \[a\] sao cho

1. a) $\frac{-3}{4}<\frac{a}{12}<\frac{-5}{9}.$
2. b) $\frac{-4}{5}<\frac{3}{a}<\frac{2}{3}.$

HD:

PP: + Quy đồng mẫu; + Quy đồng tử

1. a)

+ Quy đồng mẫu

Ta có: $\frac{-3}{4}<\frac{a}{12}<\frac{-5}{9}\Rightarrow \frac{-27}{36}<\frac{3a}{36}<\frac{-20}{36}\Rightarrow -27<3a<-20.$

Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $3a=-24\Rightarrow a=-8$ hoặc $3a=-21\Rightarrow a=-7.$

Vậy $a\in \left\{ -8;-7 \right\}.$

1. b)

+ Quy đồng tử

$\begin{align}

  & \frac{-4}{5}<\frac{3}{a}<\frac{2}{3} \\

 & \Rightarrow \frac{-12}{15}<\frac{-12}{5a}<\frac{-12}{-18}\Rightarrow 15>5a>-18\Rightarrow 3>a>\frac{-18}{5}\Rightarrow 3>a\ge -3\Rightarrow a\in \left\{ -3;-2;-1;1;2 \right\} \\

\end{align}$

Câu 2. Tìm x

1. a) $x+\frac{1}{12}=\frac{-3}{8}$ b) $x2=\frac{-5}{9}$ c) $\frac{2}{15}-x=\frac{-3}{10}+3x$
2. d) $x+\frac{4}{5}=\frac{1}{2}$ e) $x+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}-\left( -\frac{1}{3} \right)$ f) $\frac{3}{7}-x=\frac{1}{4}-\left( -\frac{3}{5} \right)$

HD:

1. a) $x+\frac{1}{12}=\frac{-3}{8}\Rightarrow x=\frac{-3}{8}-\frac{1}{12}\Rightarrow x=-\frac{11}{24}$.
2. b) $x2=\frac{-5}{9}\Rightarrow x=\frac{-5}{9}+2\Rightarrow x=\frac{13}{9}$.
3. c) $\frac{2}{15}-x=\frac{-3}{10}+3x\Rightarrow \frac{2}{15}+\frac{-3}{10}=x+3x\Rightarrow ....$.
4. d) $x+\frac{4}{5}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\Rightarrow x=-\frac{3}{10}\Rightarrow x=\frac{3}{10}.$
5. e) $x+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}-\left( -\frac{1}{3} \right)\Rightarrow x+\frac{1}{3}=\frac{11}{15}\Rightarrow x=\frac{11}{15}-\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{5}.$
6. f) $\frac{3}{7}-x=\frac{1}{4}-\left( -\frac{3}{5} \right)\Rightarrow \frac{3}{7}-x=\frac{17}{20}\Rightarrow x=\frac{3}{7}-\frac{17}{20}\Rightarrow x=-\frac{59}{140}$.

Câu 3. Tìm $a\in Z$ để

1. a) $x=\frac{a-5}{a}\left( a\ne 0 \right)$ là số nguyên.
2. b) $x=\frac{3a-1}{a+2}$ là số nguyên.
3. c) $x=\frac{2a+3}{3a-1}$

HD:

1. a) Ta có: $x=\frac{a-5}{a}=1-\frac{5}{a};x\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{5}{a}\in \mathbb{Z}.$

$\Rightarrow a\in $ Ư(5) $\Rightarrow a\in \left\{ \pm 1;\pm 5 \right\}.$

1. b) $x=\frac{3a-1}{a+2}=\frac{3\left( a+2 \right)-7}{a+2}=3-\frac{7}{a+2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{7}{a+2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow a+2\in U\left( 7 \right)$
2. c) $x=\frac{2a+3}{3a-1}$.

Ta thấy 2 không là bội của 3 nên nhân 2 vào tử số để có thể tách tử số thành phần chứa bội mẫu số + hằng số.

$3x=\frac{6a+9}{3a-1}=\frac{2\left( 3a-1 \right)+11}{3a-1}=2+\frac{11}{3a-1}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{11}{3a-1}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 3a-1\in U\left( 11 \right)\Rightarrow a=...$

Chú ý: Phải thử lại.

5. Dạng 5: Chứng minh

Câu 1. Cho 31 số hữu tỉ, sao cho bất kì 3 số hữu tỉ nào trong chúng cũng có tổng là một số âm. Tổng của 31 số đó âm hay dương?

HD:

Trong các số đã cho ít nhất cũng có một số âm (vì nếu không có số âm nào thì tổng của 3 số bất kì không thể là số âm).

Ta tách riêng số âm đó ra, còn lại 30 số.

Chia 30 số này thành 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số. Vì tổng của 3 số bất kì là một số âm nên tổng các số trong mỗi nhóm là một số âm.

Vậy tổng của 30 số là số âm, cộng thêm số âm đã tách riêng ra từ đầu sẽ được một số âm.

Do đó, tổng của 31 số đã cho là một số âm.

Câu 2. Cho tổng $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}.$ Chỉ ra cách loại hai hạng nào trong tổng A để tổng những số hạng còn lại bằng 1?

HD:

$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}=\frac{60}{120}+\frac{30}{120}+\frac{20}{120}+\frac{15}{120}+\frac{12}{120}+\frac{10}{120}.$

Vì $60+30+20+10=120$ nên ta có thể loại $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$ và $\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$ để tổng các số hạng còn lại bằng 1.

Câu 3. Tính hiệu giữa tổng của 80 số nguyên dương chẵn đầu tiên và tổng của 80 số nguyên dương lẻ đầu tiên.

HD:

Tổng của 80 số nguyên dương chẵn đầu tiên là: $2+4+6+...+160.$

Tổng của 80 số nguyên dương lẻ đầu tiên là: $1+3+5+...+159.$

Ta có:

\[\begin{align}

  & \underbrace{\left( 2+4+6+...+160 \right)}_{80}-\underbrace{\left( 1+3+5+...+159 \right)}_{80} \\

 & =\underbrace{\left( 2-1 \right)+\left( 4-3 \right)+\left( 6-5 \right)+...+\left( 160-159 \right)}_{80\,\,\left( {} \right)} \\

 & =1+1+...+1=80. \\

\end{align}\]

 

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!..

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/