Hướng dẫn giải Toán lớp 8 chủ đề: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phần 2)

Ngày đăng: 03/10/2018

 

Hướng dẫn giải Toán lớp 8 chủ đề: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phần 2)

Phân tích đa thức thành nhân tử là một mảng kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Nó có rất nhiều ứng dụng trong việc rút gọn biểu thức, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,…chính vì thế thành thạo dạng toán này sẽ giúp các em học sinh giải toán nhanh hơn. Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hường dẫn cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt, phương pháp đặt biến phụ và tổng hợp các phương pháp đã học. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo.

Dạng 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ta có thể thêm bớt một hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Bài toán 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1. a) ${{x}^{4}}+4$
2. b) ${{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1$
3. c) ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24$
4. d) ${{x}^{3}}-2x-4$
5. e) ${{a}^{4}}+4{{b}^{4}}$

Bài giải:

a) ${{x}^{4}}+4={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+4-4{{x}^{2}}=({{x}^{2}}+2)-{{(2x)}^{2}}$

$=({{x}^{2}}+2-2x)({{x}^{2}}+2+2x)$

$=({{x}^{2}}-2x+2)({{x}^{2}}+2x+2)$

Thêm bớt hạng tử $4{{x}^{2}}$

b) ${{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1={{x}^{8}}+2{{x}^{4}}+1-{{x}^{4}}={{({{x}^{4}}+1)}^{2}}-{{({{x}^{2}})}^{2}}$

$=({{x}^{4}}+1-{{x}^{2}})({{x}^{4}}+1+{{x}^{2}})$

$=({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1)({{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)$

c) ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24=({{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1)-25={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}-{{5}^{2}}$

$=({{x}^{2}}+1+5)({{x}^{2}}+1-5)$

$=({{x}^{2}}+6)({{x}^{2}}-4)$

$=({{x}^{2}}+6)(x-2)(x+2)$

Thêm bớt hạng tử 1

d) ${{x}^{3}}-2x-4={{x}^{3}}-2x-8+4$

$=({{x}^{3}}-8)-2(x-2)$

$=(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)-2(x-2)$

$=(x-2)({{x}^{2}}+2x+2)$

Thêm bớt hạng tử -8

e) ${{a}^{4}}+4{{b}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4{{b}^{4}}-4{{a}^{2}}{{b}^{2}}={{({{a}^{2}}+2{{b}^{2}})}^{2}}-{{(2ab)}^{2}}$

$=({{a}^{2}}-2ab+2{{b}^{2}})({{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}})$

Thêm bớt hạng tử $4{{a}^{2}}{{b}^{2}}$

Dạng 6: Phương pháp đặt biến phụ

Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp

Bài toán 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1. a) ${{({{x}^{2}}+x)}^{2}}-14({{x}^{2}}+x)+24$
2. b) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$
3. c) $({{x}^{2}}+8x+7)({{x}^{2}}+8x+15)+15$

Bài giải:

a) Đặt: ${{x}^{2}}+x=t$

Ta được:  ${{t}^{2}}-14t+24={{t}^{2}}-4-14t+28=(t-2)(2+2)-14(t-2)=(t-2)(t-12)$

Thay ${{x}^{2}}+x=t$trở lại ta được:

${{({{x}^{2}}+x)}^{2}}-14({{x}^{2}}+x)+24=({{x}^{2}}+x-2)({{x}^{2}}+x-12)$

$=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)$

b) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24=((x+1)(x+4))((x+2)(x+3))-24$

$=({{x}^{2}}+5x+4)({{x}^{2}}+5x+6)-24$

Đặt: ${{x}^{2}}+5x+4=t$

Ta được: $t(t+2)-24={{t}^{2}}+2t-24=(t-4)(t+6)$

Thay ${{x}^{2}}+5x+4=t$ được:

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

$=({{x}^{2}}+5x+4-4)({{x}^{2}}+5x+4+6)$

$=({{x}^{2}}+5x)({{x}^{2}}+5x+10)$

$=x(x+5)({{x}^{2}}+5x+10)$

c) $({{x}^{2}}+8x+7)({{x}^{2}}+8x+15)+15$

Đặt: ${{x}^{2}}+8x+7=t$

Ta được: $t(t+8)+15={{t}^{2}}+8t+15=(t+3)(t+5)$

Thay ${{x}^{2}}+8x+7=t$được:

$({{x}^{2}}+8x+7)({{x}^{2}}+8x+15)+15$

$=({{x}^{2}}+8x+7+3)({{x}^{2}}+8x+7+5)$

$=({{x}^{2}}+8x+10)({{x}^{2}}+8x+12)$

$=(x+2)(x+6)({{x}^{2}}+8x+10)$

Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp và phối hợp một cách hợp lí.

Bài toán 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. a) $5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}}$
2. b) ${{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+4x-12$
3. c) ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}z+{{y}^{2}}z-xyz+{{y}^{3}}$

Bài giải:

a) $5{{x}^{2}}-10xy+5{{y}^{2}}-20{{z}^{2}}=5({{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}})-20{{z}^{2}}$

$=5{{(x-y)}^{2}}-20{{z}^{2}}$

$=5[{{(x-y)}^{2}}-{{(2z)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

$=5(x-y+2z)(x-y-2z)$

b) ${{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+4x-12={{x}^{3}}(x+2)+(5{{x}^{2}}+4x-12)$

$={{x}^{3}}(x+2)+(x+2)(5x-6)$

$=(x+2)({{x}^{3}}+5x-6)$

$=(x+2)(x-1)({{x}^{2}}+x+6)$

c) ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}z+{{y}^{2}}z-xyz+{{y}^{3}}=({{x}^{3}}+{{y}^{3}})+z({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})$

$=(x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})+z({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})$

$=({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})(x+y+z)$

Bài toán 8: Chứng minh rằng:

1. a) ${{a}^{2}}(a+1)+2a(a+1)$chia hết cho 6 với $a\in Z$
2. b) $a(2a-3)-2a(a+1)$chia hết cho 5 với $a\in Z$

Bài giải:

a) Ta có: ${{a}^{2}}(a+1)+2a(a+1)=a(a+1)(a+2)$

Ta thấy a, a + 1, a + 2 là 3 số liên tiếp suy ra có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3. Vậy a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2.3 = 6

hay ${{a}^{2}}(a+1)+2a(a+1)$chia hết cho 6 với $a\in Z$

b) Ta có: $a(2a-3)-2a(a+1)=2{{a}^{2}}-3a-2{{a}^{2}}-2a=-5a\vdots 5$

Vậy $a(2a-3)-2a(a+1)$chia hết cho 5 với $a\in Z$

Phụ huynh có thể tham khảo các khóa học Toán lớp 8 tại link:

Toán lớp 8:https://cdn-media.vinastudy.vn/cdn-cgi/image/w=710,q=75/mon-toan-dc10846.html

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/