Hướng dẫn giải toán lớp 6 chủ đề tính tổng dãy lũy thừa viết theo quy luật

Ngày đăng: 20/09/2018

Hướng dẫn bài toán lớp 6 chủ đề tính tổng dãy lũy thừa viết theo quy luật

Dạng bài toán “Tính tổng dãy lũy thừa viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập. Để giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với dạng bài tập này, kính mời thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo các bài toán “Tính tổng dãy lũy thừa viết theo quy luật” sau đây:

Bài toán 1: Tính các tổng sau:

A = $1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{99}}+{{3}^{100}}$

Bài giải:

Ta có: 3A = 3.$\left( 1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{99}}+{{3}^{100}} \right)$

3A = $3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{100}}+{{3}^{101}}$

Suy ra: 3A – A = $\left( 3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{100}}+{{3}^{101}} \right)-\left( 1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{99}}+{{3}^{100}} \right)$

2A = ${{3}^{101}}-1$

$\Rightarrow $ A = $\frac{{{3}^{101}}-1}{2}$

Vậy A = $\frac{{{3}^{101}}-1}{2}$

Tổng quát: Tính tổng S = $1+a+{{a}^{2}}+{{a}^{3}}+...+{{a}^{n-1}}+{{a}^{n}}$ (với a, n $\in $ N, a > 1; n $\ge $ 1)

Ta nhân cả 2 vế của S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S = $\frac{{{a}^{n+1}}-1}{a-1}$ .

Bài toán 2: Thu gọn biểu thức sau: B = $1-2+{{2}^{2}}-{{2}^{3}}+{{2}^{4}}-....-{{2}^{99}}+{{2}^{100}}$

Bài giải:

2B = $2.\left( 1-2+{{2}^{2}}-{{2}^{3}}+{{2}^{4}}-....-{{2}^{99}}+{{2}^{100}} \right)$

2B = $2-{{2}^{2}}+{{2}^{3}}-{{2}^{4}}+{{2}^{5}}-...-{{2}^{100}}+{{2}^{101}}$

$\Rightarrow $2B + B = $\left( 2-{{2}^{2}}+{{2}^{3}}-{{2}^{4}}+{{2}^{5}}-...-{{2}^{100}}+{{2}^{101}} \right)+\left( 1-2+{{2}^{2}}-{{2}^{3}}+{{2}^{4}}-....-{{2}^{99}}+{{2}^{100}} \right)$

$\Rightarrow $3B = ${{2}^{101}}+1$

$\Rightarrow $B = $\frac{{{2}^{101}}+1}{3}$

Vậy B = $\frac{{{2}^{101}}+1}{3}$

Tổng quát: Thu gọn biểu thức: P = $1-a+{{a}^{2}}-{{a}^{3}}+...-{{a}^{2n-1}}+{{a}^{2n}}$ (với a,n $\in $N; a > 1; n $\ge $1)

Ta nhân cả 2 vế của P với a. Rồi cộng vế với vế ta được: P = $\frac{{{a}^{2n+1}}+1}{a+1}$

Bài toán 3. Tính tổng:

A = $1+{{3}^{2}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{98}}+{{3}^{100}}$

Phân tích: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào, để khi trừ 2 vế cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với ${{3}^{2}}$ , rồi trừ cho A.

Bài giải:

A = $1+{{3}^{2}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{98}}+{{3}^{100}}$

${{3}^{2}}$. A = ${{3}^{2}}.\left( 1+{{3}^{2}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{98}}+{{3}^{100}} \right)$

$\Rightarrow $ 9A = ${{3}^{2}}+{{3}^{4}}+{{3}^{6}}+...+{{3}^{100}}+{{3}^{102}}$

Suy ra: 9A – A = $\left( {{3}^{2}}+{{3}^{4}}+{{3}^{6}}+...+{{3}^{100}}+{{3}^{102}} \right)-\left( 1+{{3}^{2}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{98}}+{{3}^{100}} \right)$

8A = ${{3}^{102}}-1$

$\Rightarrow $ A = $\frac{{{3}^{102}}-1}{8}$

Tổng quát: Tính tổng S = $1+{{a}^{d}}+{{a}^{2d}}+{{a}^{3d}}+...+{{a}^{nd}}$ (với a, n $\in $ N; a > 1)

Ta nhân cả 2 vế của S với ${{a}^{d}}$ . Rồi trừ vế với vế ta được S = $\frac{{{a}^{(n+1)d}}-1}{{{a}^{d}}-1}$

Bài toán 4: Tính tổng:

B = $1-{{2}^{3}}+{{2}^{6}}-{{2}^{9}}+...+{{2}^{96}}-{{2}^{99}}$

Bài giải:

${{2}^{3}}$. B = ${{2}^{3}}.\left( 1-{{2}^{3}}+{{2}^{6}}-{{2}^{9}}+...+{{2}^{96}}-{{2}^{99}} \right)$

$\Rightarrow$ ${{2}^{3}}$. B = ${{2}^{3}}-{{2}^{6}}+{{2}^{9}}-{{2}^{12}}+...+{{2}^{99}}-{{2}^{102}}$

Suy ra: ${{2}^{3}}$.B + B = $\left( {{2}^{3}}-{{2}^{6}}+{{2}^{9}}-{{2}^{12}}+...+{{2}^{99}}-{{2}^{102}} \right)+\left( 1-{{2}^{3}}+{{2}^{6}}-{{2}^{9}}+...+{{2}^{96}}-{{2}^{99}} \right)$

$\Rightarrow$8B + B = $1-{{2}^{102}}$

$\Rightarrow$9B = $1-{{2}^{102}}$

$\Rightarrow$B = $\frac{1-{{2}^{102}}}{9}$

Vậy B = $\frac{1-{{2}^{102}}}{9}$

Tổng quát: Tính tổng P = $1-{{a}^{d}}+{{a}^{2d}}-{{a}^{3d}}+...+{{a}^{2nd}}$ (với a, n $\in $ N; a > 1)

Ta nhân cả 2 vế của P với ${{a}^{d}}$. Rồi cộng vế với vế ta được P = $\frac{{{a}^{(2n+2)d}}+1}{{{a}^{d}}+1}$

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính tổng:

1) A = $2+{{2}^{3}}+{{2}^{5}}+...+{{2}^{99}}+{{2}^{101}}$

2) B = $1-{{5}^{3}}+{{5}^{6}}-{{5}^{9}}+...+{{5}^{96}}-{{5}^{99}}$

Chúc các con học tốt !

Phụ huynh tham khảo thêm các khóa học toán lớp 6, toán lớp 7 tại link:

Toán lóp 6: https://cdn-media.vinastudy.vn/cdn-cgi/image/w=710,q=75/mon-toan-dc8746.html

Toán lớp 7: https://cdn-media.vinastudy.vn/cdn-cgi/image/w=710,q=75/toan-dc6302.html

Tác giả: Vinastudy

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046