CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẲNG ĐẲNG THỨC

Ngày đăng: 15/07/2020

BÀI 2 - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

I.Lý thuyết

1.Điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

$\sqrt{A}$ có nghĩa khi và chỉ khi $A\ge 0$

  1. Hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

$\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|=\left\{ \begin{align}& A\,\,neu\,\,A\ge 0 \\& -A\,neu\,A<0 \\\end{align} \right.$

II.Các dạng toán

1.Dạng 1. Phá dấu trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

$\left| A \right|=\left\{ \begin{align}& A\,\,neu\,A\ge 0 \\ & -A\,\,neu\,\,A<0 \\\end{align} \right.$

Ví dụ 1:

Tính $\left| 4 \right|;\left| -\frac{1}{2} \right|;\left| 1-\frac{3}{4} \right|$

Giải:

$\left| 4 \right|=4;\left| -\frac{1}{2} \right|=-\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2};\left| 1-\frac{3}{4} \right|=\left| \frac{1}{4} \right|=\frac{1}{4}$

Ví dụ 2. Tính $\left| x-1 \right|$

Giải:

Ta có:

$\left| x-1 \right|=\left\{ \begin{align}& x-1\,\,neu\,x-1\ge 0 \\ & -\left( x-1\right)\,\,neu\,x-1<0 \\ \end{align} \right.$ $=\left\{ \begin{align}& x-1\,\,neu\,x\ge 1 \\ & 1-x\,\,neu\,x<1 \\\end{align} \right.$

Ví dụ 3.

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: $C=\left| x-1 \right|+2\left| x+2 \right|+3$

Giải:

Nếu $x\le -2$ thì $C=-\left( x-1 \right)-2\left( x+2 \right)+3=-3x$

Nếu $-2\le x\le 1$ thì $C=-\left( x-1 \right)+2\left( x+2 \right)+3=x+8$

Nếu $x>1$ thì $C=\left( x-1 \right)+2\left( x+2 \right)+3=3x+6$ 

2.Dạng 2. Điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

Phương pháp giải:

$\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$

$\frac{1}{\sqrt{A}}$ có nghĩa khi $A>0$

Ví dụ 4.

Tìm điều kiện của $x$ để $\sqrt{-2x+1}$ tồn tại

Giải:

Để $\sqrt{-2x+1}$ tồn tại, điều kiện là $-2x+1\ge 0\Leftrightarrow 2x-1\le 0\Leftrightarrow x\le \frac{1}{2}$

Vậy $\sqrt{-2x+1}$ tồn tại khi và chỉ khi $x\le \frac{1}{2}$

Ví dụ 5.

 Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức sau có nghĩa:

a)$A=\frac{1}{\sqrt{5x+10}}$

b)$B=\frac{\sqrt{2x+1}}{3{{x}^{2}}-5x+2}$

Giải:

a)Để A có ngĩa, điều kiện là $5x+10>0\Leftrightarrow x>-2$.

Vậy với $x>-2$ thì A có nghĩa

 

b)Để B có nghĩa, điều kiện là: $\left\{ \begin{align}& 2x+1\ge 0 \\ &3{{x}^{2}}-5x+2\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{1}{2} \\&x\ne 1;x\ne \frac{2}{3} \\ \end{align} \right.$

Vậy với $x\ge -\frac{1}{2}$ và $x\ne 1;x\ne \frac{2}{3}$ thì B có nghĩa

3.Dạng 3. Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

Phương pháp giải:

$\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|=\left\{ \begin{align}& A\,\,neu\,\,A\ge 0 \\& -A\,neu\,A<0 \\\end{align} \right.$

Ví dụ 6:Tính:

a)$\sqrt{{{\left( 0,09 \right)}^{2}}}$

b)$\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}$

Giải:

a)Ta có: $\sqrt{{{\left( 0,09 \right)}^{2}}}=\left| 0,09 \right|=0,09$

b)Ta có: $\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=\left| \sqrt{3}-2 \right|=2-\sqrt{3}$ vì $\sqrt{3}-2<0$

Ví dụ 7. Tính:

a)$\sqrt{{{x}^{6}}}$

b)$\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}$

c)$x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}$

d)$x+y+\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}}$

Giải:

a)

Ta có: $\sqrt{{{x}^{6}}}=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=\left| {{x}^{3}} \right|$ $=\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}\,\,neu\,\,{{x}^{3}}\ge 0 \\ & -{{x}^{3}}\,\,neu\,{{x}^{3}}<0 \\ \end{align} \right.$$=\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}\,neu\,x\ge 0 \\ & -{{x}^{3}}\,neu\,x<0 \\ \end{align} \right.$

b)

Ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$$=\left| x-2 \right|$$=\left\{ \begin{align}& x-2\,neu\,x-2\ge 0 \\ & -\left( x-2 \right)\,neu\,x-2<0 \\ \end{align} \right.$$=\left\{ \begin{align}& x-2\,neu\,x\ge 2 \\ & 2-x\,neu\,x<2 \\ \end{align} \right.$

 

c)

Ta có: $x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}=$ $x+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=x+\left| x-1 \right|$$=\left\{ \begin{align}& x+x-1\,\,neu\,x-1\ge 0 \\ & x-\left( x-1 \right)\,neu\,x-1<0 \\ \end{align} \right.$$=\left\{ \begin{align}& 2x-1\,\,neu\,x\ge 1 \\ & 1\,neu\,\,x<1 \\\end{align} \right.$

d)

Ta có: $x+y+\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}}$ $=x+y+\left| x-y \right|$

$=\left\{ \begin{align}& x+y+x-y\,\,neu\,x-y\ge 0 \\ & x+y-\left( x-y \right)\,\,neu\,x-y<0 \\ \end{align} \right.$

 

 

.Dạng 4. Phương trình, bất phương trình

Phương pháp giải:

  • Bước 1: Tìm điều kiện của phương trình
  • Bước 2: Áp dụng $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

Ví dụ 8. Tìm $x$ , biết:

a)$\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=9$

b)$\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=3-x$

Giải:

a)Ta biến đổi về dạng:

$\left| x+1 \right|=9$  $\Rightarrow \left[ \begin{align}& x+1=9\,\,neu\,x+1\ge 0 \\& -\left( x+1 \right)=9\,\,neu\,x+1<0 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}&x=8\,\,neu\,x\ge -1 \\& x=-10\,neu\,x<-1 \\\end{align} \right.$

Vậy ta nhận hai giá trị $x=8$ và $x=-10$

b)

$\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=3-x\Leftrightarrow \left| x-3 \right|=3-x\Leftrightarrow x-3\le 0\Leftrightarrow x\le 3$

Vậy nghiệm của phương trình là $x\le 3$

*Chú ý: Trong lời giải câu b), chúng ta đã sử dụng tính chất:

$\left| a \right|=-a\Leftrightarrow a\le 0$

Ví dụ 9. Tìm $x$ , biết:

a)$\sqrt{x-2}+2=x$

b)$\sqrt{x-1}+1\le x$

Giải:

a)$\sqrt{x-2}+2=x$

ĐK:$x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=x-2$$\Rightarrow \sqrt{x-2}={{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{2}}$$\Rightarrow \sqrt{x-2}.\left( 1-\sqrt{x-2} \right)=0.$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& \sqrt{x-2}=0 \\& 1-\sqrt{x-2}=0 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x-2=0 \\& \sqrt{x-2}=1 \\\end{align} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x\in \left\{ 2;3 \right\}$

b)$\sqrt{x-1}+1\le x$

ĐK: $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$

$\Rightarrow \sqrt{x-1}\le x-1$$\Rightarrow \sqrt{x-1}\le {{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{2}}$$\Rightarrow \sqrt{x-1}\left( 1-\sqrt{x-1} \right)\le 0$$\Rightarrow \sqrt{x-1}\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\ge 0.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& \sqrt{x-1}=0 \\& \sqrt{x-1}-1\ge 0 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x-1=0 \\& \sqrt{x-1}\ge 1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& x\ge 2 \\\end{align} \right.$

Kết hợp với điều kiện

Vậy bất phương trình có nghiệm $x=1$ hoặc $x\ge 2$

III.Bài tập

Bài 1. Tìm tập xác định của các biểu thức sau:

a) $A=\sqrt{5x+40}$

c)$C=\frac{\sqrt{2x+4}}{{{x}^{2}}-6x+9}$

b)$B=\frac{2{{x}^{2}}+3x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}$

d)$D=\frac{3x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+123}}$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a)$A=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2\sqrt{3}x+3}}{{{x}^{2}}-3}$

c)$C=\frac{\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}}{{{x}^{2}}-5x+4}$

b)$B=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}{\sqrt{x-2}}$

d)$D=\frac{3x+1}{\sqrt{9{{x}^{2}}+6x+1}}$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a)$\sqrt{x+2\sqrt{x}+1}=3$

c)$\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1$

b)$\sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}=1-2x$

d)$\sqrt{x-2\sqrt{x-2}-1}=\sqrt{x-2}-1$

Bài 4. Cho biểu thức $A=6x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}$

a)Rút gọn biểu thức A

  1. b) Tính giá trị của biểu thức A với $x=5$
  2. c) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức A = 1

Bài 5. Cho biểu thức $A=x+8-\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}$

a)Rút gọn biểu thức A

  1. b) Tính giá trị của biểu thức A với $x=-1$
  2. c) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức A = 0

Bài 6. Tìm $x$ , biết:

a)$\sqrt{2x-1}+1=2x$

b)$\sqrt{3x-2}+4\le 6x$

Bài 7. Giải phương trình:

a)$\sqrt{{{x}^{2}}-5x+8}=2$

b)$\sqrt{x+1}-\sqrt{2-x}=0$

 

 

 

 

Tác giả: Vinastudy

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/

Khách hàng nhận xét

Đánh giá trung bình

5/5

(0 nhận xét)

1

0%

2

0%

3

0%

4

0%

5

0%

Chia sẻ nhận xét về sản phẩm

Viết nhận xét

Gửi nhận xét của bạn

1. Đánh giá của bạn về sản phẩm này: (*)

2. Tên của bạn: (*)

3. Email liên hệ:

3. Viết nhận xét của bạn: (*)

Gửi nhận xét

* Những trường có dấu (*) là bắt buộc.

* Để nhận xét được duyệt, quý khách lưu ý tham khảo Tiêu chí duyệt nhận xét của Vinastudy

  • Chưa có đánh giá nào!

Các tin mới nhất

Ôn thi vào 10 môn Toán - Vinastudy - Số 02: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 8 - Vinastudy - Số 02: Tứ giác - Hình thang - Thầy Trần Tuấn Việt
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 7 - Vinastudy - Số 02: Giá trị tuyệt đối - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 6 - Vinastudy - Số 02: Vận dụng tính chất chia hết của một tổng - Thầy Nguyễn Thành Long
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 5 - Vinastudy - Số 02: Kỹ thuật tách mẫu trong bài toán tính nhanh dãy phân số có quy luật - Thầy Nguyễn Thành Long
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 4 - Vinastudy - Số 02: Bài toán trung bình cộng (luyện tập) - Thầy Nguyễn Thành Long
Ôn thi vào 10 môn Toán - Vinastudy - Số 01: Đơn giản biểu thức căn bậc hai - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 8 - Vinastudy - Số 01: Hằng Đẳng Thức - Thầy Trần Tuấn Việt
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 7 - Vinastudy - Số 01: Góc tạo bởi 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng, 2 đường thẳng song song - Thầy Trần Ngọc Hà
Bổ trợ kiến thức Toán lớp 6 - Vinastudy - Số 01: Tính tổng dãy luỹ thừa có quy luật - Thầy Nguyễn Thành Long
Chào năm học mới