CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8: NHÂN ĐA THỨC

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

  1. A. Tóm tắt lí thuyết
  2. 1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

A.(B+C) = AB + AC

A.(B+C – D) = AB + AC – AD

  1. 2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

(A+B).(C+D) = AC + AD + BC + BD

Nhận xét: Tích của hai đa thức là một đa thức.

  1. B. Các dạng bài tập

Dạng 1. Thực hiện phép nhân

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức.

Chú ý các phép tính về luỹ thừa

+ ${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$

+ ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}}$

+ ${{a}^{0}}=1\left( a\ne 0 \right)$

Ví dụ: Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức sau:

a) $A=2x\left( {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+x+5 \right)$

b) $B=\left( 2x-3 \right)\left( x+8 \right)$

Bài giải

  1. a) Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức ta có:

$A=2x.{{x}^{3}}+2x.4{{x}^{2}}+2x.x+2x.5=2{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+10x$

  1. b) Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ta có:

$\begin{align}& B=\left( 2x-3 \right)\left( x+8 \right) \\& B=2x.x+2x.8-3.x-3.8 \\& B=2{{x}^{2}}+16x-3x-24 \\& B=2{{x}^{2}}+13x-24 \ \end{align}$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Thực hiện phép nhân

a) $A=\frac{1}{3}{{x}^{2}}\left( {{x}^{4}}-7x+5 \right)$

b) $B=\frac{2}{7}x\left( 1,4x-3,5y \right)$

c) $C=\left( -\frac{4}{3}xy \right)\left( 5y-\frac{1}{4}{{x}^{3}}+2xy \right)$

d) $D=\frac{1}{5}{{x}^{2}}\left( x+y+z \right)$

Bài 2. Thực hiện phép nhân

a) $3x\left( 5{{x}^{2}}-2x-1 \right)$

b) $\left( -xy \right)\left( {{x}^{2}}-2xy+3 \right)$

e) $\frac{1}{2}xy\left( \frac{2}{3}{{x}^{2}}-\frac{3}{4}xy+\frac{4}{5}{{y}^{2}} \right)$

f) $5x\left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)$

g) $\frac{2}{3}{{x}^{2}}y\left( 15x-0,9y+6 \right)$

h) $-\frac{3}{7}{{x}^{4}}\left( 2,1{{y}^{2}}-0,7x+3,5 \right)$

 

Bài 3. Thực hiện phép tính

a) $\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)\left( x-4 \right)$

c)  $\left( 25{{x}^{2}}+10xy+4{{y}^{2}} \right)\left( 5x-2y \right)$

b) $\left( 2{{x}^{2}}-3x-1 \right)\left( 5x+2 \right)$

d) $\left( 5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-3 \right)\left( 4{{x}^{2}}-x+2 \right)$

e) $\left( 6x-1 \right)\left( 2x+5 \right)$

f) $\left( 4x-1 \right)\left( 3x-2-{{x}^{3}} \right)$

 Dạng 2. Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức

  1. a) $3\left( 1-2x \right)\left( 5-3x \right)-6\left( 3x+5 \right)\left( x-4 \right)$
  2. b) ${{x}^{n-1}}\left( x+y \right)-y\left( {{x}^{n-1}}+{{y}^{n-1}} \right)$

Bài giải

  1. a) Thực hiện nhân đa thức với đa thức ta có:

$\begin{align}& 3\left( 1-2x \right)\left( 5-3x \right)-6\left( 3x+5 \right)\left( x-4 \right) \\& =3\left( 5-3x-10x+6{{x}^{2}} \right)-6\left( 3{{x}^{2}}-12x+5x-20 \right) \\& =3\left( 5-13x+6{{x}^{2}} \right)-6\left( 3{{x}^{2}}-7x-20 \right) \\& =15-39x+18{{x}^{2}}-18{{x}^{2}}+42x+120 \\& =3x+135 \\\end{align}$

  1. b) Thực hiện nhân đơn thức với đa thức ta có:

${{x}^{n-1}}\left( x+y \right)-y\left( {{x}^{n-1}}+{{y}^{n-1}} \right)={{x}^{n}}+{{x}^{n-1}}y-y{{x}^{n-1}}-{{y}^{n}}={{x}^{n}}-{{y}^{n}}$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:

  1. a) $3{{x}^{2}}-2x\left( 5+1,5x \right)+10$
  2. b) $7x\left( 4y-x \right)+4y\left( y-7x \right)-2\left( 2{{y}^{2}}-3,5x \right)$
  3. c) $\left\{ 2x-3\left( x-1 \right)-5\left[ x-4\left( 3-2x \right)+10 \right] \right\}.\left( -2x \right)$

Bài 2. Rút gọn biểu thức

  1. a) $\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)$
  2. b) $\left( x-1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)$
  3. c) $\left( x-1 \right)\left( {{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)$
  4. d) $\left( x+1 \right)\left( {{x}^{6}}-{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)$

Bài 3. Rút gọn biểu thức

  1. a) $5\left( 3{{x}^{n+1}}-{{y}^{n-1}} \right)-3\left( {{x}^{n+1}}+5{{y}^{n-1}} \right)+4\left( -{{x}^{n+1}}+2{{y}^{n-1}} \right)$
  2. b) $\left( \frac{3}{4}{{x}^{n+1}}-\frac{1}{2}{{y}^{n}} \right)\cdot 2\text{x}y-\left( \frac{2}{3}{{x}^{n+1}}-\frac{5}{6}{{y}^{n}} \right)\cdot 7\text{x}y$
  3. c) $3{{x}^{n-2}}\left( {{x}^{n+2}}-{{y}^{n+2}} \right)+{{y}^{n+2}}\left( 3{{x}^{n-2}}-{{y}^{n-2}} \right)$

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Bước 1. Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức để thực hiện phéo nhân; sau đó ta rút gọn biểu thức.

Bước 2. Thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $A=5{{x}^{2}}-\left[ 4{{x}^{2}}-3x\left( x-2 \right) \right]$với $x=-\frac{1}{2}$

Bài giải

Thực hiện rút gọn biểu thức A ta có

$A=5{{x}^{2}}-\left[ 4{{x}^{2}}-3x\left( x-2 \right) \right]=5{{x}^{2}}-\left( 4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}+6x \right)=5{{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+6x \right)=5{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-6=4{{x}^{2}}-6x$

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào biểu thức đã rút gọn ta được:

$A=4\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-6\cdot \frac{1}{2}=4\cdot \frac{1}{4}-3=1-3=-2$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức $B=3x\left( 5{{x}^{2}}-2 \right)-5{{x}^{2}}\left( 7+3x \right)-2,5\left( 2-14{{x}^{2}} \right)$với $\left| x \right|=\frac{1}{5}$

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức

  1. a) $M=\left( 4{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)\left( 2x+y \right)$với $x=1\frac{1}{2}$và $y=-3$
  2. b) $N=\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y \right)\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{6}xy+\frac{1}{9}{{y}^{2}} \right)$với $x=2$ và $y=3$

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức

  1. a) $A=3\left( 2a-1 \right)+5\left( 3-a \right)$ với $a=-\frac{3}{2}$
  2. b) $B=x\left( x-y \right)+y\left( x+y \right)+y\left( x-y \right)$ tại $x=-\frac{1}{3}$ và $y=3$
  3. c) $C=5x\left( x-4y \right)-4y\left( y-5x \right)-\frac{11}{20}$ tại $x=-0,6$ và $y=-0,75$
  4. d) $D=x\left( x-y+1 \right)-y\left( y+1-x \right)$ tại $x=-\frac{2}{3}$ và $y=-\frac{1}{3}$

Dạng 4. Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước

Phương pháp giải

Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức, biến đổi và rút gọn để đưa đẳng thức đã cho về dạng ax = b.

Bước 2: Giải phương trình $ax=b\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$ nếu $a\ne 0$.

Ví dụ: Tìm x biết $\left( 12x-5 \right)\left( 4x-1 \right)+\left( 3x-7 \right)\left( 1-16x \right)=81$

Bài giải

Thực hiện rút gọn vế trái ta có:

$\begin{align} & \left( 12x-5 \right)\left( 4x-1 \right)+\left( 3x-7 \right)\left( 1-16x \right) \\& =48{{x}^{3}}-12x-20x+5+3x-48{{x}^{2}}-7+112x \\& =83x-2 \\\end{align}$

Khi đó ta có $83x-2=81\Leftrightarrow 83x=83\Leftrightarrow x=1$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm x biết:

  1. a) $4x\left( 5x+2 \right)-\left( 10x-3 \right)\left( 2x+7 \right)=133$
  2. b) $4\left( 18-5x \right)-12\left( 3x-7 \right)=15\left( 2x-16 \right)-6\left( x+14 \right)$
  3. c) $5\left( 3x+5 \right)-4\left( 2x-3 \right)=5x+3\left( 2x+12 \right)+1$
  4. d) $2\left( 5x-8 \right)-3\left( 4x-5 \right)=4\left( 3x-4 \right)+11$
  5. e) $5x-3\left\{ 4x-2\left[ 4x-3\left( 5x-2 \right) \right] \right\}=182$

Bài 2. Tìm x biết:

  1. a) $\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)-\left( x-2 \right)\left( x+5 \right)=6$
  2. b) $3\left( 2x-1 \right)\left( 3x-1 \right)-\left( 2x-3 \right)\left( 9x-1 \right)=0$
  3. c) $3\left( 6x-5 \right)\left( 4x+1 \right)-\left( 8x+3 \right)\left( 9x-2 \right)=203$
  4. d) $\left( 3x+2 \right)\left( 2x+9 \right)-\left( x+2 \right)\left( 6x+1 \right)=\left( x+1 \right)-\left( x-6 \right)$

Bài 3. Tìm x biết:

  1. a) $6{{x}^{2}}-\left( 2x-3 \right)\left( 3x+2 \right)=6$
  2. b) $\left( x-3 \right)\left( x+7 \right)-\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)=0$
  3. c) $\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)-\left( x-2 \right)\left( x+5 \right)=6$
  4. d) $\left( 2x+3 \right)\left( x-4 \right)+\left( x-5 \right)\left( x-2 \right)=\left( 3x-5 \right)\left( x-4 \right)$
  5. e) $\left( 8-5x \right)\left( x+2 \right)+4\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)+2\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0$
  6. f) $\left( 8x-3 \right)\left( 3x+2 \right)-\left( 4x+7 \right)\left( x+4 \right)=\left( 2x+1 \right)\left( 5x-1 \right)-33$

Dạng 5. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Phương pháp giải

Ta biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không còn chứa biến

Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến vào biểu thức rồi so sánh với kết quả vừa tính được.

Ví dụ: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $\left( x-5 \right)\left( 2x+3 \right)-2x\left( x-3 \right)+x+7$ không phụ thuộc vào biến x

Bài giải

Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn ra được:

$\begin{align}& \left( x-5 \right)\left( 2x+3 \right)-2x\left( x-3 \right)+x+7 \\& =2{{x}^{2}}+3x-10x-15-2{{x}^{2}}+6x+x \\& =-8 \\\end{align}$

Giá trị biểu thức này luôn bằng –8 với mọi giá trị của biến x. Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Kiểm tra: Thay x = 0 vào biểu thức đã cho ta thấy$-5.3+7=-8$.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

  1. a) $x\left( 2x+1 \right)-{{x}^{2}}\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{3}}-x+3 \right)$
  2. b) $x\left( 3{{x}^{2}}-x+5 \right)-\left( 2{{x}^{3}}+3x-16 \right)-x\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)$
  3. c) $2x\left( 3x-1 \right)-6x\left( x+1 \right)-\left( -8x+3 \right)$
  4. d) $0,2\left( 5x-1 \right)-\frac{1}{2}\left( \frac{2}{3}x+4 \right)+\frac{2}{3}\left( -x+3 \right)$

Bài 2. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

  1. a) $\left( y+8 \right)\left( y-5 \right)-\left( y+4 \right)\left( y-1 \right)$
  2. b) $\left( 4x-5 \right)\left( 2x+3 \right)-4\left( x+2 \right)\left( 2x-1 \right)+\left( 10x+7 \right)$
  3. c) $\left( 7x-6y \right)\left( 4x+3y \right)-2\left( 14x+y \right)\left( x-9y \right)-19\left( 13xy-1 \right)$

Bài 3. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

  1. a) $\left( 3x-1 \right)\left( 2x+7 \right)-\left( x+1 \right)\left( 6x-5 \right)-\left( 18x-12 \right)$
  2. b) $\left( x-y \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+{{y}^{3}} \right)-{{x}^{4}}+{{y}^{4}}$
  3. c) $\left( 2-x \right)\left( 1+2x \right)+\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-5 \right)$
  4. d) $\left( {{x}^{2}}-7 \right)\left( 2+x \right)-\left( 2x-1 \right)\left( x-14 \right)+x\left( {{x}^{2}}-2x-22 \right)+35$
  5. e) $2\left( 2x+{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{3}}-4x+3 \right)$
  6. f) $z\left( y-x \right)+y\left( z-x \right)+x\left( y+z \right)-2yz$
  7. g) $2y\left( {{y}^{2}}+y+1 \right)-2{{y}^{2}}\left( y+1 \right)-2\left( y+10 \right)$

Dạng 6. Giải bài toán bằng cách đặt ẩn x

Phương pháp giải

Bước 1: Chọn ẩn x và xác định điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Dựa vào đề bài để tìm đẳng thức có chứa x.

Bước 3: Giải tìm x và chọn kết quả thích hợp.

Ví dụ 1. Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của 2 số cuối lớn hơn tích 2 số đầu là 192

Bài giải

Gọi 3 số tụ nhiên chẵn liên tiếp lần lượt là x. x + 2, x + 4 (ĐK: x là số chẵn)

Tích hai số đầu là x(x+2)

Tích hai số sau là (x+2)(x+4)

Theo đề bài ta có: $\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)-x\left( x+2 \right)=192$

Rút gọn vế trái ta có

$\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)-x\left( x+2 \right)={{x}^{2}}+4x+2x+8-{{x}^{2}}-2x=4x+8$

Khi đó ta có đẳng thức $4x+8=192\Leftrightarrow 4x=184\Leftrightarrow x=46$(thoả mãn điều kiện)

Vậy 3 số chẵn liên tiếp cần tìm là: 46, 48, 50

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hai hình chữ nhật. Hình thứ nhất có chiều dài hơn chiều rộng 9m. Hình thứ hai có chiều rộng hơn chiều rộng hình thứ nhất là 5m và có chiều dài hơn chiều dài hình thứ nhất là 15m. Biết diện tích hình thứ hai hơn diện tích hình thứ nhất là 640m2. Tính diện tích của mỗi hình.

Bài 2. Cho bốn số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng hiệu của tích hai số ở giữa và tích số đầu với số cuối luôn luôn không đổi.

Bài 3. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số đầu nhỏ hơn tích hai số sau là 50.

Bài 4. Cho bốn số nguyên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác nhau. Chứng minh rằng hiệu của tích hai số cuối với tích của hai số đầu là một số có chữ số tận cùng là chữ số 0.

Bài 5. Cho 3 số nguyên liên tiếp. Lập các tích của hai trong 3 số đó. Biết rằng tổng các tích vừa lập được bằng 242. Tìm ba số nguyên đó.

Dạng 7. Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

Để chứng minh một đẳng thức ta có thể áp dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại.

Cách 2: Biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức.

Cách 3: Chứng minh hiệu của vế trái và vế phải bằng 0.

Ví dụ: Chứng minh rằng

  1. a) $\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$
  2. b) $\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)\left( x-y \right)={{x}^{3}}-{{y}^{3}}$

Bài giải

  1. a) Thực hiện phép nhân đa thức ở vế trái và rút gọn ta có:

$\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}+{{y}^{2}}x+{{y}^{3}}={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$

  1. b) Thực hiện phép nhân đa thức ở vế trái và rút gọn ta có:

$\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)\left( x-y \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}+{{y}^{2}}x-{{y}^{3}}={{x}^{3}}-{{y}^{3}}$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$. Chứng minh đẳng thức $2\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=\left( x+y \right)\left( x+y+2 \right)$

Bài 2. Chứng minh rằng ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)$

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

  1. a) $\left( x+a \right)\left( x+b \right)={{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+ab$
  2. b) $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)={{x}^{3}}+\left( a+b+c \right){{x}^{2}}+\left( ab+bc+ca \right)x+abc$

Bài 4.

Chứng minh rằng nếu $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ thì $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( ax+by+c\text{z} \right)}^{2}}$

Bài 5. Cho các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Chứng minh rằng

$\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}} \right)={{\left( ax+2by+3c\text{z} \right)}^{2}}$

Dạng 8. Áp dụng vào số học

Phương pháp giải

+ Phép chia hết: Cho hai số nguyên a và b (b ¹ 0), ta nói a chia hết cho b, kí hiệu $a\vdots b$ nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = b.q. Khi đó ta nói b là ước của a và a là bội của b.

+ Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c.

+ Nếu a chia b dư r thì a – r chia hết cho b.

+ Nếu a chia hết cho c, b chia hết cho c thì a ± b chia hết cho c.

Ví dụ: Cho biểu thức $B=\left( n-1 \right)\left( n+6 \right)-\left( n+1 \right)\left( n-6 \right)$.

Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n thì $B\vdots 10$.

Bài giải

Ta có

$B=\left( n-1 \right)\left( n+6 \right)-\left( n+1 \right)\left( n-6 \right)={{n}^{2}}+5n-6-\left( {{n}^{2}}-5n-6 \right)={{n}^{2}}+5n-6-{{n}^{2}}+5n+6=10n$

Vì 10 = 2.5 chia hết cho 5 nên 10n chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng biểu thức $n\left( n+5 \right)-\left( n-3 \right)\left( n+2 \right)$luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài 2. Chứng minh rằng biểu thức $n\left( 2n-3 \right)-2n\left( n+1 \right)$luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài 3.

  1. a) Chứng minh rằng $M=\left( 2m-3 \right)\left( 3n-2 \right)-\left( 3m-2 \right)\left( 2n-3 \right)$chia hết cho 5 với mọi số nguyên m, n.
  2. b) Chứng minh rằng $N=\left( 4m-1 \right)\left( n-4 \right)-\left( m-4 \right)\left( 4n-1 \right)$ chia hết cho 15 với mọi số nguyên m, n.

Bài 4. Cho biểu thức $C=\left( n-1 \right)\left( n+4 \right)-\left( n-4 \right)\left( n+1 \right)$.

Chứng minh rằng C luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Bài 5. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia 5 dư 2 và b chia 5 dư 3.

Chứng minh rằng ab chia 5 dư 1.

Dạng 9. Đa thức đồng nhất bằng nhau

Phương pháp giải

+ Hai đa thức của cùng một biến số x gọi là đồng nhất bằng nhai nếu chúng luôn nhận cùng một giá trị đối với mỗi giá trị của biến số x, kí hiệu là $f\left( x \right)\equiv g\left( x \right)$.

Vậy $f\left( x \right)\equiv g\left( x \right)$ khi $f\left( x \right)=g\left( x \right)$với mọi x

+ Hai đa thức đồng nhất bằng nhau nếu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau và ngược lại.

Ví dụ cho $f\left( x \right)={{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}$ và $g\left( x \right)={{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}x+{{c}_{2}}$.

Nếu $f\left( x \right)\equiv g\left( x \right)$ thì ${{a}_{1}}={{a}_{2}};{{b}_{1}}=b2;{{c}_{1}}={{c}_{2}}$

+ Một đa thức đồng nhất bằng 0 khi đa thức đó có các hệ số đều bằng 0 và ngược lại.

Ví dụ: Xác định a, b, c, d thoả mãn một trong các đẳng thức sau với mọi giá trị của x.

  1. a) $\left( ax+b \right)\left( {{x}^{2}}+cx+1 \right)={{x}^{3}}-3x+2$
  2. b) ${{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b=\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+cx+d \right)$

Bài giải

  1. a) Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn vế trái ta có:

$\left( ax+b \right)\left( {{x}^{2}}+cx+1 \right)=a{{x}^{3}}+ac{{x}^{2}}+ax+b{{x}^{2}}+bcx+b=a{{x}^{3}}+\left( ac+b \right){{x}^{2}}+\left( a+bc \right)x+b$

Viết lại vế phải ta có ${{x}^{3}}-3x+2={{x}^{3}}-0.{{x}^{2}}-3x+2$

$\left\{ \begin{align}& a=1 \\& ac+b=0 \\& a+bc=-3 \\& b=2 \\\end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=2 \\ & c=-2 \\\end{align} \right.$

Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau:

$a{{x}^{3}}+\left( ac+b \right){{x}^{2}}+\left( a+bc \right)x+b\equiv {{x}^{3}}-0.{{x}^{2}}-3x+2$

Suy ra $\left\{ \begin{align}& a=1 \\ & ac+b=0 \\ & a+bc=-3 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\ & b=2 \\ & c=-2 \\ \end{align} \right.$

  1. b) Biến đổi vế phải ta có:

$\begin{align}& \left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+cx+d \right) \\& ={{x}^{4}}+c{{x}^{3}}+d{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}-3c{{x}^{2}}-3dx+2{{x}^{2}}+2cx+2d \\& ={{x}^{4}}+\left( c-3 \right){{x}^{3}}+\left( d+2-3c \right){{x}^{2}}+\left( 2c-3d \right)x+2d \\\end{align}$

Viết lại vế trái ta có

${{x}^{{}}}+a{{x}^{2}}+b={{x}^{4}}+0.{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+0.x+b$

Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau:

${{x}^{4}}+0.{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+0.x+b\equiv {{x}^{4}}+\left( c-3 \right){{x}^{3}}+\left( d+2-3c \right){{x}^{2}}+\left( 2c-3d \right)x+2d$

Suy ra

$\left\{ \begin{align}

  & c-3=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\

 & d+2-3c=a\,\,\left( 2 \right) \\

 & 2c-3d=0\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\

 & 2d=b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \\

\end{align} \right.$

Từ (1) và (3) ta tính được c = 3 và d = 2.

Thay c = 3 và d = 2 vào (2) ta tính được $a=-5$.

Thay d = 2 vào (4) ta tính được b = 4.

Vậy $a=-5;b=4;c=3;d=2$.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Xác định hệ số a, b, c biết rằng với mọi giá trị của x thì

  1. a) $\left( 5x-3 \right)\left( 2x-c \right)=a{{x}^{2}}+bx+21$
  2. b) $\left( ax+4 \right)\left( {{x}^{2}}+bx-1 \right)=9{{x}^{3}}+58{{x}^{2}}+15x+c$

Bài 2. Xác định a, b, c, biết

  1. a) $\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( x+3 \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2x$ với mọi x.
  2. b) $\left( {{x}^{2}}+bx+16 \right)\left( x+a \right)={{x}^{3}}-64$ với mọi x.

Bài 3. Xác định hệ số a, b, c để ${{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-c=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$với mọi x.

Bài 4. Xác định hệ số a, b, c, d biết ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+ax+b=\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+cx+d \right)$ với mọi x.

Bài 5. Xác định các hệ số a, b, c biết

  1. a) $\left( {{x}^{2}}+cx+2 \right)\left( ax+b \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2$ với mọi x.
  2. b) $\left( a{{y}^{2}}+bx+c \right)\left( y+3 \right)={{y}^{3}}+2{{y}^{2}}-3y$với mọi y.
  3. c) $\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)\left( a{{z}^{2}}+b\text{z}+c \right)=2{{z}^{4}}-{{z}^{3}}+2{{z}^{2}}+1$ với mọi z.

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/

Tham khảo khoá học

Chào năm học mới
Thời gian làm việc
Thời gian làm việc

Bản quyền thuộc về trung tâm Vinastudy