Các bài toán hình về diện tích

 CÁC BÀI TOÁN HÌNH VỀ DIỆN TÍCH

Bài 1. Cho tam giác $ABC$, trên $AB,AC$ lấy hai điểm $D,E$ sao cho $AD=2\times DB$ và $AE=EC.$ Tính diện tích tam giác $ADE$ biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $180c{{m}^{2}}$

Lời giải

$AE=EC\Rightarrow {{S}_{ABE}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times 180=90c{{m}^{2}}$

$AD=2\times BD\Rightarrow {{S}_{ADE}}=\frac{2}{3}\times {{S}_{ABE}}=\frac{2}{3}\times 90=60c{{m}^{2}}$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Trên $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=2\times EC.$ Lấy điểm I bất kì trên $BE$sao cho $IB=IE$. Tính diện tích tam giác $ABC$ biết diện tích tam giác $AIE$ bằng $20c{{m}^{2}}$.

Lời giải

$IE=IB\Rightarrow {{S}_{AIE}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABE}}$

$AE=2\times EC\Rightarrow {{S}_{ABE}}=\frac{2}{3}\times {{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow {{S}_{AIE}}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times {{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow {{S}_{AIE}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=3\times {{S}_{AIE}}=3\times 20=60c{{m}^{2}}$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, $D$ là điểm chính giữa của $BC$, $E$ là điểm chính giữa cạnh $AC$. $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $I.$ Tính diện tích tam giác$IAE$ biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $90c{{m}^{2}}$  

Lời giải

${{S}_{ABE}}={{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times 90=45c{{m}^{2}}$

$AE=EC\Rightarrow {{S}_{IAE}}={{S}_{AEC}}$

$\Rightarrow $ Đường cao hạ từ $A$ xuống $IE$ bằng đường cao hạ từ $C$ xuống $IE$

$\Rightarrow {{S}_{AIB}}={{S}_{BIC}}$

Mà ${{S}_{BIC}}=2\times {{S}_{BID}}$

$\Rightarrow {{S}_{AIB}}=2\times {{S}_{BID}}$

$\Rightarrow {{S}_{AIB}}=\frac{2}{3}\times {{S}_{ABD}}=\frac{2}{3}\times 45=30c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{IAE}}={{S}_{ABE}}-{{S}_{AIB}}=45-30=15c{{m}^{2}}$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH.$ Trên $AH$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=2\times DH$. Biết $BH=4cm,\,BC=12cm.$ Tính tỉ số diện tích tam giác $BCD$ và diện tích tam giác $ABH$.

Lời giải

$BH=4cm=\frac{1}{3}\times 12cm=\frac{1}{3}\times BC$

$\Rightarrow {{S}_{BDH}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{BDC}}$

$AD=2\times DH\Rightarrow {{S}_{BDH}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABH}}$

$\Rightarrow \frac{{{S}_{BDC}}}{{{S}_{ABH}}}=1$ 

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $360{{m}^{2}}$. $E$ là điểm chính giữa của $BC$. Trên $AE$ lấy điểm $I$ ở chính giữa. $BI$ cắt $AC$ ở $D.$ Tính diện tích tam giác $AID$

Lời giải

${{S}_{ABE}}={{S}_{AEC}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times 360=180{{m}^{2}}$

$AI=IE\Rightarrow {{S}_{ABI}}={{S}_{BIE}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABE}}=\frac{1}{2}\times 180=90{{m}^{2}}$

${{S}_{BIE}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{BIC}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABI}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{BIC}}$

$\Rightarrow $ Đường cao hạ từ A xuống BD bằng $\frac{1}{2}$ đường cao hạ từ C xuống BD

$\Rightarrow {{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{BDC}}$

Mà ${{S}_{ABD}}+{{S}_{BCD}}={{S}_{ABC}}=360{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABD}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\times 360=120{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{AID}}={{S}_{ABD}}-{{S}_{ABI}}=120-90=30{{m}^{2}}$

Bài 6. Cho tam giác $ABC$, trên $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=\frac{1}{4}\times AC$, trên $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=MC.$ Kéo dài $AB$ và $MN$ cắt nhau ở $P$. Tính diện tích tam giác $ABC$ biết diện tích tam giác $APN$ bằng $100c{{m}^{2}}$

Lời giải

$BM=MC\Rightarrow {{S}_{BPM}}={{S}_{CPM}}$ và ${{S}_{BNM}}={{S}_{CMN}}$

$\Rightarrow {{S}_{BPM}}-{{S}_{BNM}}={{S}_{PMC}}-{{S}_{CMN}}$

$\Rightarrow {{S}_{BPN}}={{S}_{PNC}}$

$AN=\frac{1}{4}\times AC\Rightarrow {{S}_{PNC}}=3\times {{S}_{APN}}=3\times 100=300c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABN}}={{S}_{BPN}}-{{S}_{APN}}=300-100=200c{{m}^{2}}$

$AN=\frac{1}{4}\times AC\Rightarrow {{S}_{ABC}}=4\times {{S}_{ABN}}=4\times 200=800c{{m}^{2}}$

Bài 7 (Đề thi vào lớp 6 môn Toán trường Hà Nội – Amsterdam 2006 – 2007)

Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng 18cm². Biết $DA=2\times DB,\,\,EC=3\times EA,\,\,MC=MB$ (hình vẽ). Tính tổng diện tích hai tam giác $MDB$ và $MCE$.

Lời giải

$MB=MC\Rightarrow {{S}_{AMB}}={{S}_{AMC}}=\frac{1}{2}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times 18=9c{{m}^{2}}$

$DA=2\times DB\Rightarrow DB=\frac{1}{3}\times AB$

$\Rightarrow {{S}_{BDM}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABM}}=\frac{1}{3}\times 9=3c{{m}^{2}}$ 

$EC=3\times EA\Rightarrow EC=\frac{3}{4}\times AC$

$\Rightarrow {{S}_{MEC}}=\frac{3}{4}\times {{S}_{AMC}}=\frac{3}{4}\times 9=\frac{27}{4}c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{MDB}}+{{S}_{MCE}}=3+\frac{27}{4}=\frac{39}{4}c{{m}^{2}}$

Bài 8 (Đề thi vào lớp 6 môn Toán trường Hà Nội – Amsterdam 2004 – 2005)

Trong hình vẽ bên có $NA=2\times NB,\,\,MC=2\times MB$ và diện tích tam giác $OAN$ là $8c{{m}^{2}}$. Tính diện tích $BNOM$.

Lời giải

${{S}_{ANC}}={{S}_{AMC}}=\frac{2}{3}\times {{S}_{ABC}}$

${{S}_{AON}}=2\times {{S}_{BON}}$

$\Rightarrow $ Đường cao hạ từ A xuống NC gấp 2 lần đường cao hạ từ B xuống NC

$\Rightarrow {{S}_{AOC}}=2\times {{S}_{BOC}}$

Mà ${{S}_{BOC}}=\frac{3}{2}\times {{S}_{OMC}}$ nên ${{S}_{AOC}}=2\times \frac{3}{2}\times {{S}_{OMC}}=3\times {{S}_{OMC}}$

$\Rightarrow {{S}_{AOC}}=\frac{3}{4}\times {{S}_{AMC}}=\frac{3}{4}\times {{S}_{ANC}}$

$\Rightarrow {{S}_{AON}}=\frac{1}{4}\times {{S}_{ANC}}$

$\Rightarrow {{S}_{ANC}}=8\times 4=32c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=32:\frac{2}{3}=48c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABM}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\times 48=16c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{BNOM}}={{S}_{ABM}}-{{S}_{AON}}=16-8=8c{{m}^{2}}$

Bài 9 (Đề thi vào lớp 6 môn Toán trường Hà Nội – Amsterdam 2003 – 2004)

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $144c{{m}^{2}}$ như hình vẽ. Trên $AB$ lấy điểm $E,$ trên $BC$ lấy điểm $F$. Các đoạn $EB=\frac{1}{3}\times AB,\,CF=\frac{1}{3}\times CB$. Tính diện tích tam giác $DEF$

Lời giải

${{S}_{ADE}}=\frac{1}{2}\times AE\times AD=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times AB\times AC=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\times 144=48c{{m}^{2}}$

${{S}_{DCF}}=\frac{1}{2}\times FC\times DC=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times BC\times DC=\frac{1}{6}\times {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\times 144=24c{{m}^{2}}$

${{S}_{EBF}}=\frac{1}{2}\times EB\times BF=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times AB\times \frac{2}{3}\times BC=\frac{1}{9}\times {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{9}\times 144=16c{{m}^{2}}$

${{S}_{DEF}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ADE}}-{{S}_{DCF}}-{{S}_{BEF}}=144-48-24-16=56c{{m}^{2}}$

Bài 10 (Đề thi vào lớp 6 môn Toán trường Hà Nội – Amsterdam 2001 – 2002)

Cho tam giác $ABC$ và các điểm $D,E,G,H$ sao cho $BD=\frac{1}{3}\times AB,\,\,AE=CG=\frac{1}{3}\times AC,\,\,CH=\frac{1}{3}\times BC.$ Tính diện tích $BDEGH$ biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $180c{{m}^{2}}$

Lời giải

${{S}_{AEB}}={{S}_{BCG}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\times 180=60c{{m}^{2}}$

${{S}_{ADE}}=\frac{2}{3}\times {{S}_{ABE}}=\frac{2}{3}\times 60=40c{{m}^{2}}$

${{S}_{GHC}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{BCG}}=\frac{1}{3}\times 60=20c{{m}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{BDEGH}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{ADE}}-{{S}_{GHC}}=180-40-20=120c{{m}^{2}}$