Các bài toán hình về diện tích

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1. Giải phương trình $\left| 2x-1 \right|=7$

Lời giải

$\left| 2x-1 \right|=7$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x-1=7 \\  & 2x-1=-7 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\  & x=-3 \\ \end{align} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-3$ hoặc $x=4$

Bài 2. Giải phương trình $\left| 2x \right|=\left| x+1 \right|$

Lời giải

$\left| 2x \right|=\left| x+1 \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=x+1 \\  & 2x=-x-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$

Bài 3. Tập nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{2}}+5 \right|=\left| 6x \right|$ là:

Lời giải

$\left| {{x}^{2}}+5 \right|=\left| 6x \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}+5=6x \\  & {{x}^{2}}+5=-6x \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-6x+5=0 \\  & {{x}^{2}}+6x+5=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left( x-1 \right)\left( x-5 \right)=0 \\  & \left( x+1 \right)\left( x+5 \right)=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-1=0 \\  & x-5=0 \\  & x+1=0 \\  & x+5=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=5 \\  & x=-1 \\  & x=-5 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{ \pm 1;\,\pm 5 \right\}$

Bài 4. Giải phương trình $\left| 5x-1 \right|=2x-6$

Lời giải

ĐKXĐ: $2x-6\ge 0$ $\Leftrightarrow x\ge 3$

$\left| 5x-1 \right|=2x-6$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 5x-1=2x-6 \\  & 5x-1=6-2x \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 3x=-5 \\  & 7x=7 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{5}{3} \\  & x=1 \\ \end{align} \right.$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 5. Giải phương trình ${{x}^{2}}-x-12=\left| -5x+20 \right|$

Lời giải

ĐKXĐ: ${{x}^{2}}-x-12\ge 0$

$\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( x+3 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x\ge 4 \\  & x\le -3 \\ \end{align} \right.$

${{x}^{2}}-x-12=\left| -5x+20 \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-x-12=-5x+20 \\  & {{x}^{2}}-x-12=5x-20 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}+4x-32=0 \\  & {{x}^{2}}-6x+8=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left( x-4 \right)\left( x+8 \right)=0 \\  & \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2\,\,(ktm) \\  & x=4\,\left( tm \right) \\  & x=-8\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=-8$ hoặc $x=4$

Bài 6. Giải phương trình $\left| {{x}^{2}}-5x \right|=10-2x$

Lời giải

ĐKXĐ: $10-2x\ge 0$

$\Leftrightarrow x\le 5$

$\left| {{x}^{2}}-5x \right|=10-2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-5x=10-2x \\  & {{x}^{2}}-5x=2x-10 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-3x-10=0 \\  & {{x}^{2}}-7x+10=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left( x+2 \right)\left( x-5 \right)=0 \\  & \left( x-2 \right)\left( x-5 \right)=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-2 \\  & x=2 \\  & x=5 \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-2$ hoặc $x=2$ hoặc $x=5$

Bài 7. Giải phương trình $\left| 6-3x \right|+3\left| x+1 \right|=9$

Lời giải

$\left| 6-3x \right|+3\left| x+1 \right|=9$

$\Leftrightarrow \left| 6-3x \right|+\left| 3x+3 \right|=9$

Ta có: $\left| 6-3x \right|+\left| 3x+3 \right|\le \left| 6-3x+3x+3 \right|=9$ với mọi $x$

Do đó $\left| 6-3x \right|+3\left| x+1 \right|=9$ $\Leftrightarrow \left( 6-3x \right)\left( 3x+3 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow \left( 2-x \right)\left( x+1 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow -1\le x\le 2$

Bài 8. Giải phương trình $\left| 4x+5 \right|+\left| 2-x \right|=\left| 3x-7 \right|$

Lời giải

Ta có: $\left| 4x+5 \right|+\left| 2-x \right|\le \left| 4x+5+2-x \right|=\left| 3x-7 \right|$ với mọi $x$

Do đó $\left| 4x+5 \right|+\left| 2-x \right|=\left| 3x-7 \right|$ $\Leftrightarrow \left( 4x+5 \right)\left( 2-x \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\le x\le 2$

Bài 9. Giải phương trình $\left| x+2 \right|+\left| x+9 \right|=3x-1$

Lời giải

ĐKXĐ: $x\ge \frac{1}{3}$

Với $x\ge \frac{1}{3}$ thì $x+2>0$ và $x+9>0$

$\left| x+2 \right|+\left| x+9 \right|=3x-1$

$\Leftrightarrow x+2+x+9=3x-1$

$\Leftrightarrow x=12$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=12$

Bài 10. Giải phương trình $\left| 4x+7 \right|-\left| 2x-3 \right|=4x+1$

Lời giải

TH1: $x<-\frac{7}{4}$

$\left| 4x+7 \right|-\left| 2x-3 \right|=4x+1$

$\Leftrightarrow -4x-7-\left( 3-2x \right)=4x+1$

$\Leftrightarrow -4x-7-3+2x=4x+1$

$\Leftrightarrow 6x=-11$

$\Leftrightarrow x=-\frac{11}{6}$ (thỏa mãn)

TH2: $-\frac{7}{4}\le x<\frac{2}{3}$

$\left| 4x+7 \right|-\left| 2x-3 \right|=4x+1$

$\Leftrightarrow 4x+7-\left( 3-2x \right)=4x+1$

$\Leftrightarrow 4x+7-3+2x=4x-1$

$\Leftrightarrow 2x=-5$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}$ (thỏa mãn)

TH3: $x\ge \frac{2}{3}$

$\left| 4x+7 \right|-\left| 2x-3 \right|=4x+1$

$\Leftrightarrow 4x+7-2x+3=4x+1$

$\Leftrightarrow 2x=9$

$\Leftrightarrow x=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{11}{6}$ hoặc $x=-\frac{5}{4}$ hoặc $x=\frac{9}{2}$