Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R=10 đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (như hình vẽ). Trong chậu chứa sẵn một khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h=2. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (như hình vẽ). Cho biết công thức tính thể tích của khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có chiều cao h là: V_chỏm $=\pi {{h}^{2}}\left( R-\frac{h}{3} \right)$, bán kính của viên bi:

Xác định m để đường thẳng $d:\frac{x-13}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{3}$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):mx+2y-4z+1=0$

Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Một hình lập phương có cạnh bằng A. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương là:

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên cũng bằng A. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân ABCD với AB=2a, BC=CD=DA=a và SA$\bot $(ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt AB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính đường kính khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60^o. Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C).

Cho hình vẽ:

Tam giác SOA vuông tại O có MN || SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R =OA. Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất.                           

Cho tứ diện ABCD có thể tích khối ABCD bằng 126, hai tam giác ABC và ABD có diện tích cùng bằng 21. M là một điểm thuộc cạnh CD và d₁; d₂ lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Vậy (d₁+d₂) bằng:

Đường nối tâm hai mặt kề bên của một hình lập phương có độ dài 3$\sqrt{2}$. Thể tích của khối lập phương này bằng:

Cho hai số phức z₁; z₂ thỏa mãn $\left| i{{z}_{1}}+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}$và ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$

Cho số phức $z-\frac{\overline{z}}{1+3i}=\frac{6+7i}{5}$, điểm nào sau đâu là điểm biểu diễn của số phức z:

Tìm tất cả các số thực m biết $z=\frac{i-m}{1-m(m-2i)}$và  $z.\overline{z}=\frac{2-m}{2}$ trong đó i là đơn vị ảo.

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: $\frac{iz-{{(1+3i)}^{-}}z}{1+i}={{\left| z \right|}^{2}}$

Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ?

Cho $A=\int\limits_{0}^{\ln m}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-2}}dx=\ln 2$. Khi đó giá trị của m là:

Cho hình phẳng D được giới hạn bởi $y=tan\text{ }x;\text{ }x=0;\text{ }x=\frac{\pi }{3};\text{ }y\text{ }=\text{ }0$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi D, V là thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Ox. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn như hình vẽ:

Kết luận nào sau đây là không đúng về đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ ?

Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+1}{x+1}$ đồng biến trên:

Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$ như hình vẽ. Từ đồ thị suy ra được số nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \right|=m$ với $m\in \left( 3;4 \right)$ là:

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2x+3}\text{ }\left( C \right)$. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng A.

Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ thì phương trình của đồ thị hàm số $\left( C' \right)$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua gốc tọa độ $O$ là ?

Trong các hàm số sau:

I.$f(x)={{\tan }^{2}}x+2$                             II.$f(x)=\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}$              III.$f(x)={{\tan }^{2}}x+1$

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x)=2 tan x