Các bài toán hình về diện tích

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009 https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010 https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011 https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012 https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013 https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014 https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015 https://zalo.me/g/klszcb046

Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 9 CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÍ VI –ÉT

I – Kiến thức cần nhớ

1, Hệ thức Vi – et

Phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,(a\ne 0)\,\,\,\,(1)$

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.$

- Đảo lại: nếu hai số ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.$ thì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-Sx+P=0$

2, Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng trong giải toán

  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
  • $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
  • $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
  • $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
  • $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
  • $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}$
  • ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

II – Bài tập vận dụng

Bài 1. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

  1. a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$
  2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
  3. c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$

HD:

Ta có : $\Delta =1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)=9-4\sqrt{2}>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2+\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$

  1. a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$
  2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-2.\left( -2+\sqrt{2} \right)=5-2\sqrt{2}$
  3. c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$

$\Rightarrow C=\sqrt{1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}-1$

Bài 2. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x-7=0$. Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm $\frac{1}{{{x}_{1}}-1}$ và $\frac{1}{{{x}_{2}}-1}$.

HD:

Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4.7=37>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-7 \\ \end{align} \right.$

Ta có : $\left\{ \begin{align}& S=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{3-2}{-7-3+1}=\frac{-1}{9} \\ & P=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}.\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{1}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{-1}{9} \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: ${{x}^{2}}+\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}=0$

Bài 3. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $3{{x}^{2}}+5x-6=0$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn $y$ có hai nghiệm ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ thỏa mãn: ${{y}_{1}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$ và ${{y}_{2}}=2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$.

HD:

Ta có $ac=3.(-6)=-18<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3} \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \\ \end{align} \right.$

Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2{{ x }_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=2.\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2.{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+9{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=-2.\frac{25}{9}-2.9=\frac{-212}{9}$

Vậy phương trình cần tìm là: ${{y}^{2}}+\frac{5}{3}y-\frac{212}{9}=0$

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009 https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010 https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011 https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012 https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013 https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014 https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015 https://zalo.me/g/klszcb046