Các bài toán hình về diện tích
Cộng đồng zalo giải đáo bài tập
Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé
Con sinh năm 2009 | https://zalo.me/g/cieyke829 |
Con sinh năm 2010 | https://zalo.me/g/seyfiw173 |
Con sinh năm 2011 | https://zalo.me/g/jldjoj592 |
Con sinh năm 2012 | https://zalo.me/g/ormbwj717 |
Con sinh năm 2013 | https://zalo.me/g/lxfwgf190 |
Con sinh năm 2014 | https://zalo.me/g/bmlfsd967 |
Con sinh năm 2015 | https://zalo.me/g/klszcb046 |
Chia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích!
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 9 CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÍ VI –ÉT
I – Kiến thức cần nhớ
1, Hệ thức Vi – et
Phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,(a\ne 0)\,\,\,\,(1)$
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.$
- Đảo lại: nếu hai số ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.$ thì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-Sx+P=0$
2, Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng trong giải toán
- $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
- $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
- $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
- $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
- $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
- $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}$
- ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
II – Bài tập vận dụng
Bài 1. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
- a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$
- b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
- c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$
HD:
Ta có : $\Delta =1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)=9-4\sqrt{2}>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2+\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$
- a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$
- b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-2.\left( -2+\sqrt{2} \right)=5-2\sqrt{2}$
- c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
$\Rightarrow C=\sqrt{1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}-1$
Bài 2. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x-7=0$. Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm $\frac{1}{{{x}_{1}}-1}$ và $\frac{1}{{{x}_{2}}-1}$.
HD:
Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4.7=37>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-7 \\ \end{align} \right.$
Ta có : $\left\{ \begin{align}& S=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{3-2}{-7-3+1}=\frac{-1}{9} \\ & P=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}.\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{1}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{-1}{9} \\ \end{align} \right.$
Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: ${{x}^{2}}+\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}=0$
Bài 3. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $3{{x}^{2}}+5x-6=0$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn $y$ có hai nghiệm ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ thỏa mãn: ${{y}_{1}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$ và ${{y}_{2}}=2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$.
HD:
Ta có $ac=3.(-6)=-18<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3} \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \\ \end{align} \right.$
Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2{{ x }_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3}$
${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=2.\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2.{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+9{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=-2.\frac{25}{9}-2.9=\frac{-212}{9}$
Vậy phương trình cần tìm là: ${{y}^{2}}+\frac{5}{3}y-\frac{212}{9}=0$
Cộng đồng zalo giải đáo bài tập
Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé
Con sinh năm 2009 | https://zalo.me/g/cieyke829 |
Con sinh năm 2010 | https://zalo.me/g/seyfiw173 |
Con sinh năm 2011 | https://zalo.me/g/jldjoj592 |
Con sinh năm 2012 | https://zalo.me/g/ormbwj717 |
Con sinh năm 2013 | https://zalo.me/g/lxfwgf190 |
Con sinh năm 2014 | https://zalo.me/g/bmlfsd967 |
Con sinh năm 2015 | https://zalo.me/g/klszcb046 |