Các bài toán hình về diện tích

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 9 CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÍ VI –ÉT

I – Kiến thức cần nhớ

1, Hệ thức Vi – et

Phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,(a\ne 0)\,\,\,\,(1)$

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.$

- Đảo lại: nếu hai số ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.$ thì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-Sx+P=0$

2, Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng trong giải toán

• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
• $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
• $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}={{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
• $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
• $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
• $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}$
• ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

II – Bài tập vận dụng

Bài 1. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0$. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

1. a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}$
2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
3. c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$

HD:

Ta có : $\Delta =1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)=9-4\sqrt{2}>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2+\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$

1. a) $A=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{-1}{-2+\sqrt{2}}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$
2. b) $B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-2.\left( -2+\sqrt{2} \right)=5-2\sqrt{2}$
3. c) $C=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$

$\Rightarrow C=\sqrt{1-4.\left( -2+\sqrt{2} \right)}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}-1$

Bài 2. Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x-7=0$. Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm $\frac{1}{{{x}_{1}}-1}$ và $\frac{1}{{{x}_{2}}-1}$.

HD:

Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4.7=37>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-7 \\ \end{align} \right.$

Ta có : $\left\{ \begin{align}& S=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{3-2}{-7-3+1}=\frac{-1}{9} \\ & P=\frac{1}{{{x}_{1}}-1}.\frac{1}{{{x}_{2}}-1}=\frac{1}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}=\frac{-1}{9} \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: ${{x}^{2}}+\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}=0$

Bài 3. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $3{{x}^{2}}+5x-6=0$. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn $y$ có hai nghiệm ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ thỏa mãn: ${{y}_{1}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$ và ${{y}_{2}}=2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}$.

HD:

Ta có $ac=3.(-6)=-18<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi – et ta có: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3} \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \\ \end{align} \right.$

Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=2{{ x }_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-5}{3}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=2.\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2.{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+9{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

${{y}_{1}}.{{y}_{2}}=-2.\frac{25}{9}-2.9=\frac{-212}{9}$

Vậy phương trình cần tìm là: ${{y}^{2}}+\frac{5}{3}y-\frac{212}{9}=0$

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé