Toán 7 - Lũy thừa của số hữu tỉ

Ngày đăng: 17/11/2022

 

TOÁN 7 - LŨY THỪA CỦA SỐ HỮU TỈ

A. Lí thuyết

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên.

+ Lũy thừa bậc n ( n là số tự nhiên lớn hơn 1) của một số hữu tỉ x là tích của n thừa số bằng x:

\[{{x}^{n}}=\underbrace{x.x...x}_{n\,}(x\in \mathbb{Q},\,n\in \mathbb{N},\,n>1)\]

+ Nếu \[x=\frac{a}{b}(a,\,b\in \mathbb{Z},\,b\ne 0)\] thì ${{x}^{n}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$.

+ Chú ý: ${{x}^{0}}=1\,\,\left( x\ne 0 \right)$.

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Tích của hai lũy thừa cùng cơ số: \[{{x}^{m}}.{{x}^{n}}={{x}^{m+n}}(x~\in \mathbb{Q};\text{ }m,\text{ }n~\in \mathbb{N})\]

            VD: ${{2}^{3}}{{.2}^{7}}={{2}^{3+7}}={{2}^{10}};{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{7}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{10}}$

+ Thương của hai lũy thừa cùng cơ số khác 0: ${{x}^{m}}:{{x}^{n}}={{x}^{m-n}}\,\left( \text{ }x\ne 0,\text{ }m~\ge \text{ }n \right)~$

            VD: ${{5}^{12}}:{{5}^{10}}={{5}^{12-10}}={{5}^{2}}=25.$

                   ${{\left( \frac{1}{4} \right)}^{12}}:{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{10}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{16}$.

+ Lũy thừa của lũy thừa: ${{({{x}^{m}})}^{n}}={{x}^{m.n}}(x~\in \mathbb{Q};\text{ }m,\text{ }n~\in \mathbb{N})$

            VD: ${{\left( {{2}^{3}} \right)}^{4}}={{2}^{3.4}}={{2}^{12}}.$

+ Lũy thừa của một tích: \[{{(x.y)}^{n}}={{x}^{n}}.{{y}^{n}}.\]

            VD: \[{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}{{6}^{3}}={{\left( \frac{1}{2}.6 \right)}^{3}}={{2}^{3}}=8\]

+ Lũy thừa của một thương: \[{{(\frac{x}{y})}^{n}}=\frac{{{x}^{n}}}{{{y}^{n}}}.\]

            VD: $\frac{{{36}^{4}}}{{{12}^{4}}}={{\left( \frac{36}{12} \right)}^{4}}={{3}^{4}}=81$

                   $4,{{6}^{5}}:2,{{3}^{5}}={{(4,6:2,3)}^{5}}={{2}^{5}}=32$

B. Bài tập

1. Dạng 1: Rút gọn, tính giá trị biểu thức

Câu 1. Viết dưới dạng lũy thừa

1. a) $\frac{16}{81}$ b) $\frac{-8}{27}$                             c) $0,001$                        d) $\frac{64}{-125}$

HD:

1. a) $\frac{16}{81}=\frac{{{2}^{4}}}{{{3}^{4}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{4}},\,\,hoac\,\,\frac{16}{81}=\frac{{{4}^{2}}}{{{9}^{2}}}={{\left( \frac{4}{9} \right)}^{2}}$
2. b) $\frac{-8}{27}=\frac{{{\left( -2 \right)}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{\left( \frac{-2}{3} \right)}^{3}}$
3. c) $0,001=\frac{1}{1000}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{3}}$
4. d) $\frac{64}{-125}=\frac{-64}{125}=\frac{{{\left( -4 \right)}^{3}}}{{{5}^{3}}}={{\left( \frac{-4}{5} \right)}^{3}}$

Câu 2. Tính ${{\left( \frac{-1}{3} \right)}^{4}};\,{{\left( -2\frac{1}{4} \right)}^{3}};\,{{\left( -0,2 \right)}^{2}};\,{{\left( -5,3 \right)}^{0}}.$

HD:

$\begin{align}

  & {{\left( \frac{-1}{3} \right)}^{4}}=\left( \frac{-1}{3} \right).\left( \frac{-1}{3} \right).\left( \frac{-1}{3} \right).\left( \frac{-1}{3} \right)=\frac{1}{81} \\

 & \,{{\left( -2\frac{1}{4} \right)}^{3}}={{\left( -\frac{9}{4} \right)}^{3}}=\left( -\frac{9}{4} \right).\left( -\frac{9}{4} \right).\left( -\frac{9}{4} \right)=-\frac{729}{64} \\

 & \,{{\left( -0,2 \right)}^{2}}=\left( -0,2 \right).\left( -0,2 \right)=0,04 \\

 & {{\left( -5,3 \right)}^{0}}=1. \\

\end{align}$

Câu 3.

1. a) Viết các số ${{\left( 0,25 \right)}^{8}}$ và ${{\left( 0,125 \right)}^{4}}$ dưới dạng các lũy thừa của cơ số $0,5$.
2. b) Biểu thức \[{{25}^{4}}{{.2}^{8}}\]được viết dưới dạng lũy thừa của số hữu tỷ là:

HD:

1. a) Ta có $0,25={{\left( 0,5 \right)}^{2}}$ nên \[{{\left( 0,25 \right)}^{8}}={{\left[ {{\left( 0,5 \right)}^{2}} \right]}^{8}}={{\left( 0,5 \right)}^{16}}\].

Ta có $0,125={{\left( 0,5 \right)}^{3}}$ nên \[{{\left( 0,125 \right)}^{4}}={{\left[ {{\left( 0,5 \right)}^{3}} \right]}^{4}}={{\left( 0,5 \right)}^{12}}\]

1. b) PP: đưa về cùng số mũ.

\[{{25}^{4}}{{.2}^{8}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{4}}{{.2}^{8}}={{2}^{8}}{{.5}^{8}}={{10}^{8}}.\]

Câu 4. Rút gọn biểu thức:

2. a) \[\frac{{{4}^{5}}{{.9}^{4}}-{{2.6}^{9}}}{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}+{{6}^{8}}.20}\]
3. b) \[\frac{{{10}^{4}}.81-{{16.15}^{2}}}{{{4}^{4}}.675}\]
4. c) \[\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}.{{\left( \frac{-3}{4} \right)}^{2}}.{{(-1)}^{2003}}}{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}.{{\left( -\frac{5}{12} \right)}^{3}}}\]
5. d) \[\left[ 6{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}-3\left( -\frac{1}{3} \right)+1 \right]:\left( -\frac{1}{3}-1 \right)\]

HD:

1. a)

\[\frac{{{4}^{5}}{{.9}^{4}}-{{2.6}^{9}}}{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}+{{6}^{8}}.20}=\frac{{{\left( {{2}^{2}} \right)}^{5}}.{{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4}}-2.{{\left( 2.3 \right)}^{9}}}{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}+{{\left( 2.3 \right)}^{8}}{{.2}^{2}}.5}=\frac{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}-{{2}^{10}}{{.3}^{9}}}{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}+{{2}^{10}}{{.3}^{8}}.5}=\frac{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}.\left( 1-3 \right)}{{{2}^{10}}{{.3}^{8}}.\left( 1+5 \right)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\].

b) \[\frac{{{10}^{4}}.81-{{16.15}^{2}}}{{{4}^{4}}.675}=\frac{{{2}^{4}}{{.5}^{4}}{{.3}^{4}}-{{2}^{4}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}}{{{2}^{8}}{{.5}^{2}}{{.3}^{3}}}=\frac{{{2}^{4}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}.\left( 9.25-1 \right)}{{{2}^{8}}{{.5}^{2}}{{.3}^{3}}}=\frac{{{2}^{5}}.7}{{{2}^{4}}.3}=\frac{14}{3}\]

c) \[\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}.{{\left( \frac{-3}{4} \right)}^{2}}.{{(-1)}^{2003}}}{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}.{{\left( -\frac{5}{12} \right)}^{3}}}=\frac{\frac{{{2}^{3}}}{{{3}^{3}}}.\frac{{{3}^{2}}}{{{2}^{4}}}.\left( -1 \right)}{-\frac{{{2}^{2}}}{{{5}^{2}}}.\frac{{{5}^{3}}}{{{2}^{6}}{{.3}^{3}}}}=\frac{1}{6}:\frac{5}{16.27}=\frac{72}{5}\].

d) \[\left[ 6{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}-3\left( -\frac{1}{3} \right)+1 \right]:\left( -\frac{1}{3}-1 \right)=\left( \frac{6}{9}+1+1 \right):\left( -\frac{4}{3} \right)=\frac{8}{3}.\left( -\frac{3}{4} \right)=-2\]

2. Dạng 2: Tìm x

Câu 5. Tìm $x$, biết:

1. a) $x:{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}=-\frac{1}{2}$ b) ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}.x={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{7}}$

HD:

1. a) $x:{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=~\left( -\frac{1}{2} \right).{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}~~$
2. b) ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}.x={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{7}}\Rightarrow x={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{7}}:{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{9}{16}$.

Câu 6. Tìm \[x\] , biết

2. a) ${{\left( x+\frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$ b) ${{5}^{x+1}}-{{2.5}^{x}}=75$

HD:

1. a) ${{\left( x+\frac{3}{4} \right)}^{2}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}$

Trường hợp 1: $x+\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}$ .

Trường hợp 2: $x+\frac{3}{4}=-\frac{2}{3}\Rightarrow x=-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{17}{12}$

Vậy $x=-\frac{1}{12}$, $x=-\frac{17}{12}$ .

2. b) \[{{5}^{x+1}}-{{2.5}^{x}}=75\]

\[\begin{align}

  & \Rightarrow {{5.5}^{x}}-{{2.5}^{x}}=75 \\

 & \Rightarrow {{5}^{x}}\left( 5-2 \right)=75 \\

 & \Rightarrow {{3.5}^{x}}=75 \\

 & \Rightarrow {{5}^{x}}=25 \\

 & \Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{2}} \\

 & \Rightarrow x=2 \\

\end{align}\]

Câu 7. Tìm x

1. a) \[\frac{{{x}^{6}}}{25}=625\] b) \[{{\left( x-1 \right)}^{3}}=343\] c) \[{{\left( x-2 \right)}^{4}}=4096\]

HD:

1. a) \[\frac{{{x}^{6}}}{25}=625\Leftrightarrow {{x}^{6}}=15625\Leftrightarrow {{x}^{6}}={{5}^{6}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=-5 \\

 & x=5 \\

\end{align} \right.\]

1. b) \[{{\left( x-1 \right)}^{3}}=343\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}={{7}^{3}}\Leftrightarrow x-1=7\Leftrightarrow x=8\]
2. c) \[{{\left( x-2 \right)}^{4}}=4096\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{4}}={{8}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x-2=8 \\

 & x-2=-8 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=10 \\

 & x=-6 \\

\end{align} \right.\]

Câu 8. Tìm x biết:

1. a) \[{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\frac{1}{81}\] b) \[{{(x-2)}^{4}}=4096\] c) \[{{(x+5)}^{3}}=-64\]

HD:

1. a) \[{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\frac{1}{81}\Leftrightarrow \frac{-1}{27}.x=\frac{1}{81}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.\]
2. b) \[{{(x-2)}^{4}}=4096\Leftrightarrow {{(x-2)}^{4}}={{8}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x-2=-8 \\

 & x-2=8 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=-6 \\

 & x=10 \\

\end{align} \right.\]

9. c) \[{{(x+5)}^{3}}=-64\Leftrightarrow {{(x+5)}^{3}}={{\left( -4 \right)}^{3}}\Leftrightarrow x+5=-4\Leftrightarrow x=-9.\]

Dạng 3: Chứng minh, so sánh

Câu 9. Chứng minh rằng

1. a) \[\left( {{7}^{6}}+{{7}^{5}}-{{7}^{4}} \right)\,\,\vdots \,\,55\]
2. b) \[\left( {{16}^{5}}+{{2}^{15}} \right)\,\,\vdots 33\]

HD:

1. a) \[{{7}^{6}}+{{7}^{5}}-{{7}^{4}}={{7}^{4}}.\left( {{7}^{2}}+7-1 \right)={{7}^{4}}.55\,\,\vdots \,\,55\]
2. b) \[{{16}^{5}}+{{2}^{15}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{5}}+{{2}^{15}}={{2}^{20}}+{{2}^{15}}={{2}^{15}}.\left( {{2}^{5}}+1 \right)={{2}^{15}}.33\,\,\vdots \,\,33\]

Câu 10. So sánh

1. a) \[{{2}^{160}}\] và \[{{4}^{120}}\] b) \[{{3}^{200}}\]và \[{{2}^{300}}\]

HD:

PP: Đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số rồi so sánh.

+ Nếu ${{a}^{m}}>{{b}^{m}},\left( m\in N \right)\Rightarrow a>b$

+ Nếu $m>n\Rightarrow {{a}^{m}}>{{a}^{n}},\left( m,n\in \mathbb{N} \right)$

1. a) ${{4}^{120}}={{\left( {{\left( 2 \right)}^{2}} \right)}^{120}}={{2}^{240}}>{{2}^{160}}\Rightarrow {{2}^{160}}<{{4}^{120}}$
2. b) ${{3}^{200}}={{9}^{100}};\,\,{{2}^{300}}={{8}^{100}}\Rightarrow {{9}^{100}}>{{8}^{100}}\Rightarrow {{3}^{200}}>{{2}^{300}}$

Câu 11. So sánh

1. a) \[{{\left( \frac{-1}{16} \right)}^{100}}\] và \[{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{500}}\] b) \[{{3}^{-200}}\] và \[{{2}^{-300}}\]

HD:

1. a) \[{{\left( \frac{-1}{16} \right)}^{100}}={{\left( \frac{-1}{{{2}^{4}}} \right)}^{100}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{400}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{500}}\]
2. b) \[{{3}^{-200}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{100}};\,\,{{2}^{-300}}={{\left( \frac{1}{8} \right)}^{100}};{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{100}}<{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{100}}\]

 

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!.

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/