Các bài toán hình về diện tích

ÔN TẬP GIẢI BÀI  TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1.  (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2015 – 2016) 

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180m². Tính diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu.

Bài giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là: $x$ (m) (với $x>0$)

Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là: $x+5$ (m)

Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là: $x\left( x+5 \right)\,\,\left( {{m}^{2}} \right)$

Chiều dài mảnh đất khi giảm đi 5m là: $\left( x+5 \right)-5=x$ (m)

Chiều rộng mảnh đất khi giảm đi 4m là: $x-4$ (m)

Diện tích của mảnh đất khi giảm đi chiều dài và chiều rộng là: $x\left( x-4 \right)$ $\left( {{m}^{2}} \right)$

Theo bài ra ta có:

$\begin{align}  & x\left( x+5 \right)=x\left( x-4 \right)+180 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x={{x}^{2}}-4x+180 \\  & \Leftrightarrow x=20\,\,(TM) \\ \end{align}$

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là: 25.20=500m²

Bài 2: (Đề thi học kì II trường THCS Trưng Vương năm 2017 - 2018)

Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Khi đến B, ô tô dừng lại nghỉ trong 2 giờ rồi quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Ô tô về đến A lúc 15 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

Bài giải:

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0)            

Thời gian ô tô đi từ A tới B là: $\frac{x}{50}$ (giờ)

Thời gian ô tô đi từ B về A là: $\frac{x}{40}$ (giờ)

Thời gian cả đi và về của ô tô là: 15 giờ - 6 giờ 15 phút = 8 giờ 45 phút = $8\frac{3}{4}$ giờ

Theo bài, ta có phương trình sau:

$\frac{x}{50}+2+\frac{x}{40}=8\frac{3}{4}$

Giải phương trình ta được kết quả: x = 150

Vậy quãng đường AB dài 150 km.

Bài 3: (Đề thi học kì II quận Ba Đình năm 2017 – 2018)

Một người đi xe máy dự định từ A đến B trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h thì người đó đi tiếp nửa quãng đường còn lại với vận tốc 36 km/h do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Bài giải:

Đổi 10 phút  = $\frac{1}{6}$ giờ

Gọi S là độ dài quãng đường AB (km, S>0)

Thời gian người đó đi nửa quãng đường đầu là: $\frac{S}{2.30}$ giờ

Thời gian người đó đi nửa quãng đường sau là: $\frac{S}{2.36}$ giờ

Tổng thời gian người đó đi quãng đường là: $\frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}$ giờ

Thời gian người đó dự định đi hết quãng đường đó là:

$\frac{S}{30}$ giờ

Khi đó ta có phương trình:

$\frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}=\frac{S}{30}-\frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow S.\left( \frac{1}{60}-\frac{1}{72}-\frac{1}{30} \right)=-\frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow S.\frac{-1}{360}=-\frac{1}{6}$

$S=60$ km

Thời gian người đó dự định đi hết quãng đường AB là  $60:30=2$ giờ

Bài 4. (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2016 – 2017) 

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, lúc về người đó đi trên con đường khác dài hơn 15km. Vì lúc về đường đi dễ hơn nên người đó đi với vận tốc 40km/h, do vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Bài giải:

Gọi $x$ là thời gian đi của người đó (giờ, $x>\frac{1}{3}$)

$\Rightarrow $ Quãng đường AB là: $30x$ (km)

Thời gian về của người đó là: $x-\frac{1}{3}$ (giờ)

Quãng đường lúc về là: $40.\left( x-\frac{1}{3} \right)$ (km)

Khi đó, ta có phương trình:

$30x+15=40\left( x-\frac{1}{3} \right)$

$\Leftrightarrow 10x=\frac{85}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{85}{30}$

Quãng đường AB là: $30.\frac{85}{30}=85$ (km)

Bài 5  (Đề thi học kì II trường THCS Lương Thế Vinh năm 2018 – 2019)

Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B. Xe máy đi với vận tốc 30km/h, ô tô đi với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được $\frac{1}{2}$ quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại, do đó nó đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Bài giải:

Đổi:1  giờ 10 phút = $\frac{7}{6}$ giờ

Gọi độ dài quãng đường AB là: $x$ (km) (với $x>0$)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: $\frac{x}{30}$ (giờ)

Thời gian ô tô đi hết $\frac{1}{2}$ quãng đường AB đầu là: $\frac{1}{2}x:40=\frac{x}{80}$ (giờ)

Ô tô đi $\frac{1}{2}$ quãng đường AB còn lại với vận tốc: $40+5=45$ (km/h)

Thời gian ô tô đi hết $\frac{1}{2}$ quãng đường AB còn lại là: $\frac{1}{2}x:45=\frac{x}{90}$ (giờ)

Theo bài ra ta có:

$\begin{align}  & \frac{x}{30}-\frac{7}{6}=\frac{x}{80}+\frac{x}{90} \\  & \Leftrightarrow x\left( \frac{1}{30}-\frac{1}{80}-\frac{1}{90} \right)=\frac{7}{6} \\  & \Leftrightarrow \frac{7}{720}x=\frac{7}{6} \\  & \Leftrightarrow x=120 \\ \end{align}$

Vậy quãng đường AB dài 120 km.

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30 km/h, xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được $\frac{3}{4}$ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.

Giải:

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0)

Xe con đi $\frac{3}{4}$ quãng đường AB hết: $\frac{3x}{4}:45=\frac{3x}{180}$ (giờ)

Xe con đi $\frac{1}{4}$ quãng đường AB còn lại hết: $\frac{x}{4}:50=\frac{x}{200}$ (giờ)

Xe tải đi quãng đường AB hết: $\frac{x}{30}$ (giờ)

Theo bài, xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút hay $2\frac{1}{3}$ giờ, nên ta có phương trình:

$\frac{3x}{180}+\frac{x}{200}+2\frac{1}{3}=\frac{x}{30}$

Giải phương trình, ta được: x = 200 (TMĐK)

Vậy quãng đường AB dài 200 km.

Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 1 giờ 30 phút , một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đi được nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB.

Bài giải:

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km, x>0)

Thời gian xe tải đi được đến lúc gặp nhau là: $\frac{x}{2.40}=\frac{x}{80}$ giờ

Thời gian xe con đi được đến lúc gặp nhau là: $\frac{x}{2.60}=\frac{x}{120}$ giờ

Khi đó ta có phương trình:

$\,\,\,\,\,\,\frac{x}{80}-1,5=\frac{x}{120}$

$\Leftrightarrow 3x-360=2x$

$\Leftrightarrow x=360$

Vậy quãng đường AB dài 360km.

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài giải:

Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là: $x$ (km/h) (với $x>2$)

Vận tốc của tàu tuần tra khi chạy ngược dòng là: $x-2$ (km/h)

Thời gian tàu tuần tra khi chạy ngược dòng là: $\frac{60}{x-2}$ (giờ)

Vận tốc của tàu tuần tra khi chạy xuôi dòng là: $x=2$ (km/h)

Thời gian tàu tuần tra khi chạy xuôi dòng là: $\frac{48}{x+2}$ (giờ)

Theo bài ra ta có:

$\frac{60}{x-2}=\frac{48}{x+2}+1$

$\Leftrightarrow \frac{60}{x-2}=\frac{50+x}{x+2}$

$\Rightarrow 60\left( x+2 \right)=\left( 50+x \right)\left( x-2 \right)$

$\Leftrightarrow 60x+120={{x}^{2}}+48x-100$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x-220=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=22\,\,\,\,\,\,(TM) \\  & x=-10\,\,(KTM) \\ \end{align} \right.$

Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là: 22 km/h

Bài 9: (Đề thi học kì II trường THCS Hà Nội chuyên Amsterdam năm 2016 – 2017)

Một chiếc ca nô đi xuôi dòng nước từ A đến B hết 1 giờ 10 phút, sau đó ngược dòng nước từ B về A mất 1 giờ 30 phút. Biết vận tốc riêng của ca nô lúc đi xuôi và lúc đi ngược dòng nước là như nhau và vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Bài giải:

Đổi: 1 giờ 10 phút = $\frac{7}{6}$ giờ; 1 giờ 30 phút = $\frac{3}{2}$ giờ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là: $x$ (km) (với $x>2$)

Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: $x+2$ (km/h)

Quãng đường ca nô đi được khi đi xuôi dòng là: $\frac{7}{6}\left( x+2 \right)$ (km)

Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: $x-2$ (km/h)

Quãng đường ca nô đi được khi đi ngược dòng là: $\frac{3}{2}\left( x-2 \right)$ (km)

Ta có:

 $\frac{7}{6}\left( x+2 \right)=\frac{3}{2}\left( x-2 \right)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}x=\frac{16}{3}$

$\Leftrightarrow x=16$

Vậy vận tốc riêng của ca nô là: 16 km/h

Bài 10: (Đề thi học kì II trường Lê Lợi năm 2018 – 2019)

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ thì cả hai làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc đó.

Bài giải:

Gọi thời gian một mình đội thứ nhất làm xong công việc là: x (giờ)

Trong 1 giờ đội thứ nhất làm được: $1:x=\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong 1 giờ cả hai đội làm được: $1:24=\frac{1}{24}$ (công việc)

Trong 1 giờ đội thứ hai làm được: $\frac{1}{24}-\frac{1}{x}$ (công việc)

Theo bài ra ta có:

$10.\frac{1}{x}+15.\left( \frac{1}{24}-\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{5}{x}=-\frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow x=40$

Vậy nếu làm một mình đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 40 giờ

Trong 1 giờ đội thứ hai làm được: $\frac{1}{24}-\frac{1}{40}=\frac{1}{60}$

$\Rightarrow $ Nếu làm một mình thì đội thứ hai sẽ hoàn thành công việc trong 60 giờ.

Bài 11: (Đề thi học kì II trường THCS Lê Quý Đôn năm 2017 – 2018)

Một lâm trường lập kế hoạch trồng rừng với dự định mỗi tuần trồng 35 ha. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên không những trồng thêm 20ha mà còn hoàn thành sớm trước 2 tuần. Hỏi lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?

Bài giải:

Gọi số ha rừng lâm trường dự định trồng là x (ha) (x > 0)

Thời gian theo dự định là $\frac{x}{35}$ (tuần)

Số ha rừng trồng thực tế là: $x+20$ (ha)

Số ha rừng thực tế mỗi tuần trồng là: 35 + 5 = 40 (ha)

Thời gian thực tế là $\frac{x+20}{40}$ (tuần)

Vì lâm trường hoàn thành trước 2 tuần nên ta có phương trình:

$\frac{x}{35}-\frac{x+20}{40}=2$

Giải phương trình ra x = 700 (TMĐK)

Bài 12: (Đề thi học kì II trường Đoàn Thị Điểm năm 2017 – 2018)

Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kỹ thuật, tổ dã may được mỗi ngày thêm 10 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.

Bài giải:

Gọi $x$ là số ngày tổ đó hoàn thành công việc theo kế hoạch (ngày, $x>0$)

Số áo mà tổ đó phải làm theo kế hoạch là: $30.x$ (áo)

Thực tế mỗi ngày tổ đó sản xuất được: 30+10 = 40 (áo)

Thực tế số ngày mà người đó đã hoàn thành công việc là: $x-4$ (ngày)

Thực tế, tổ đó may được số áo là: $30x+20$ (áo)

Khi đó ta có phương trình:

$30x+20=40(x-3)$

$\Leftrightarrow 10x=140$

$\Leftrightarrow x=14$

Số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là:

$30.14=420$ (áo)

Bài 13: (Đề thi học kì II trường THCS Nguyễn Trường Tộ năm 2018 – 2019)

Một tổ may sản xuất dự định làm 36 sản phẩm trong 1 ngày. Khi thực hiện tổ đã vướt mức dự định 4 sản phẩm mỗi ngày, vì vậy không những tổ đã hoàn thành công việc sớm 5 ngày và còn làm thêm được 4 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà tổ phải hoàn thành theo kế hoạch.

Bài giải:

Gọi thời gian tổ phải hoàn thành theo kế hoạch là: $x$ (ngày) ($x>5$)

Số sản phầm mà tổ phải hoàn thành theo kế hoạch là: $36x$ (sản phẩm)

Số sản phẩm thực tế tổ làm được trong 1 ngày là: 36 + 4 = 40 (sản phẩm)

Thời gian tổ hoàn thành số sản phẩm trên thực tế là: $x-5$ (ngày)

Số sản phẩm thực tế tổ làm được là: $40\left( x-5 \right)$ (sản phẩm)

Theo bài ra ta có:

$\begin{align}  & 40\left( x-5 \right)=36x+4 \\  & \Leftrightarrow x=51 \\ \end{align}$

Vậy số sản phẩm tổ phải hoàn thành theo kế hoạch là: 36.51 = 1836 (sản phẩm)

Bài 14  (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2018 – 2019):

Một đội sản xuất dự định mỗi ngày hoàn thành 50 sản phẩm, nhưng thực tế đã vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, vì vậy không những hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 30 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch đội phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài giải:

Gọi thời gian đội phải sản xuất theo kế hoạch là: $x$ (ngày) $\left( x>2 \right)$

Theo kế hoạch đội phải sản xuất số sản phẩm là: $50x$ (sản phẩm)

Thực tế trong 1 ngày đội sản xuất làm được: $50+10=60$ (sản phẩm)

Trên thực tế đội sản xuất làm trong: $x-2$ (ngày)

Thực tế đội sản xuất làm được: $60\left( x-2 \right)$ (sản phẩm)

Theo bài ra ta có:

$\begin{align}  & 60\left( x-2 \right)=50x+30 \\  & \Leftrightarrow x=15 \\ \end{align}$

Vậy theo kế hoạch đội phải sản xuất được: 50.15 = 750 (sản phẩm)

Bài 15: (Đề thi học kì II trường THCS Hà Nội chuyên Amsterdam năm 2017 – 2018)

Để đóng xong một số sách trong một thời gian dự định, một chị công nhân dự định đóng mỗi ngày được 100 cuốn sách. Nhờ phát huy sáng kiến nên chị đã đóng được 120 cuốn mỗi ngày. Do vậy không những chị đã hoàn thành công việc trước 1 ngày mà còn đóng thêm 50 cuốn nữa. Tính xem chị công nhân đã đóng được bao nhiêu cuốn ?

Bài giải:

Gọi thời gian chị công nhân dự định đóng xong số sách là: $x$ (ngày) (với $x>1$)

Số sách chị công nhân đóng được theo dự định là: $100x$ (cuốn sách)

 Thời gian chị công nhân thực tế đóng là: $x-1$ (ngày)

Chị công nhân thực tế đã đóng được: $120\left( x-1 \right)$ (cuốn sách)

Theo bài ra ta có:

$\begin{align}  & 120\left( x-1 \right)=100x+50 \\  & \Leftrightarrow x=8,5 \\ \end{align}$

Vậy chị công nhân thực tế đã đóng được: $120.\left( 8,5-1 \right)=900$ (cuốn sách)

Bài 16: (Giải bài toán bằng cách lập phương trình)

Một tổ sản xuất được giao làm một số sản phẩm và dự định mỗi ngày làm 30 sản phẩm. Nhưng thực tế năng suất của tổ đã tăng 10%. Vì vậy tổ không những hoàn thành số sản phẩm được giao trước kế hoạch 2 ngày mà còn làm thêm được 15 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch.

Bài giải;

Gọi $x$ là tổng số sản phẩm mà tổ đó phải làm theo kế hoạch ($x>0$)

Thời gian tổ đó làm hết số sản phẩm dự định là: $\frac{x}{30}$ ngày

Thực tế: mỗi ngày tổ đó làm được: $30+10%.30=33$ sản phẩm

Tổng số sản phẩm mà thực tế tổ đó đã làm được là: $x+15$ sản phẩm

Thời gian thực tế người đó đã làm hoàn thành công việc là: $\frac{x+15}{33}$ ngày

Khi đó ta có phương trình : $\frac{x}{30}-2=\frac{x+15}{33}$

$\Leftrightarrow x=172$

Vậy số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch là 172 sản phẩm

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046