Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \[y=\left( x-2 \right){{e}^{2x}}\] và trục hoành là:

\[\left( x-2 \right){{e}^{2x}}=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\]

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

\[V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left[ \left( x-2 \right){{e}^{2x}} \right]}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{4x}}dx}\]

Đặt \[\left\{ \begin{align}  & u={{\left( x-2 \right)}^{2}} \\  & dv={{e}^{4x}}dx \\ \end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=2\left( x-2 \right)dx \\  & v=\frac{{{e}^{4x}}}{4} \\ \end{align} \right.\]

\[V=\pi \left[ \left. \frac{1}{4}{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{4x}} \right|_{0}^{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\left( x-2 \right){{e}^{4x}}dx} \right]=\pi \left( -1-\frac{1}{2}I \right)\]

Tính \[I=\int\limits_{0}^{2}{\left( x-2 \right){{e}^{4x}}dx}\]

Đặt \[\left\{ \begin{align}  & u=x-2 \\  & dv={{e}^{4x}}dx \\ \end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=\frac{1}{4}{{e}^{4x}} \\ \end{align} \right.\]

\[I=\frac{1}{4}\left. \left( x-2 \right){{e}^{4x}} \right|_{0}^{2}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{4x}}dx}=\left. \frac{1}{4}\left( x-2 \right){{e}^{4x}} \right|_{0}^{2}-\left. \frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{e}^{4x}} \right|_{0}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}\left( {{e}^{8}}-1 \right)=\frac{-{{e}^{8}}+9}{16}\]

Vậy \[V=\pi \left[ -1-\frac{1}{2}\left( \frac{-{{e}^{8}}+9}{16} \right) \right]=\frac{\pi \left( {{e}^{8}}-41 \right)}{32}\]