+  Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: $\widehat{\left( SA,(ABCD) \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=SH\sqrt{2}$

+ $\widehat{\left( (SAB),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SM,MH \right)}=\widehat{SMH}={{60}^{0}}\Rightarrow SM=SH.\frac{2}{\sqrt{3}}$

+ Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD suy ra $NP=a\sqrt{6}$. Ta có $SH.MN=NP.SM\Leftrightarrow SH.AB=a\sqrt{6}.SH\frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow AB=2\sqrt{2}a\Leftrightarrow SH=a\sqrt{3}$

+ Trong tam giác SAM ta có $S{{A}^{2}}=A{{M}^{2}}+S{{M}^{2}}\Leftrightarrow 2S{{H}^{2}}=\frac{4S{{H}^{2}}}{3}+2{{a}^{2}}\Leftrightarrow SH=a\sqrt{3}$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{a\sqrt{3}.8{{a}^{2}}}{3}=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$           

Vậy chọn đáp án A.