Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Khi đó $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)$.

Ta có $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}$ (với $\overrightarrow{AH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$)  Nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t=1$

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\left( 1;-4;1 \right)$, $H\left( 3;1;4 \right)$

Mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi (P) đi qua $H\left( 3;1;4 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AH}=\left( 1;-4;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là

$1.\left( x-3 \right)-4.\left( y-1 \right)+1.\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow x-4y+z-3=0$