Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+iy;\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ trong mặt phẳng phức

$\left| z-i \right|=\left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

$\left( 1+i \right)z=\left( 1+i \right)\left( x+iy \right)=\left( x-y \right)+\left( x+y \right)i\Rightarrow \left| \left( 1+i \right)z \right|=\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}}$

Theo giả thiết, $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$ nên ta có:

$\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0\text{ }(*)$

(*) là phương trình đường tròn tâm $I\left( 0;-1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}-\left( -1 \right)}=\sqrt{2}$