đặt $t=\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{3}}={{x}^{2}}+1$$\Rightarrow 3{{t}^{2}}dt=2xdx\Rightarrow dx=\frac{3{{t}^{2}}dt}{2x}$

Đổi cận: với $x=0\Rightarrow t=1;\text{    }x=\sqrt{7}\Rightarrow t=2$

Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{({{t}^{3}}-1)}{t}\frac{3}{2}{{t}^{2}}dt}=\frac{3}{2}\int\limits_{1}^{2}{({{t}^{4}}-t)dt}=\left. \frac{3}{2}\left( \frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{{{t}^{2}}}{2} \right) \right|_{1}^{2}=\frac{141}{20}$