Phương trình hoành độ giao điểm của các đường  y = xlnx và y =0 là: x = 1

  Thể tích khối tròn xoay cần tìm là$V=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{\left( x\ln x \right)}^{2}}dx}$

Đặt$\left\{ \begin{align}  & u={{\ln }^{2}}x \\  & dv={{x}^{2}}dx \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{2\ln x}{x} \\  & v=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{align} \right.dx$.  Ta có: $I=\int\limits_{1}^{e}{{{\left( x\ln x \right)}^{2}}dx}=\frac{{{e}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}\ln xdx}\frac{{{e}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}{{I}_{1}}$

Đặt $\left\{ \begin{align}  & u=\ln x \\  & dv={{x}^{2}}dx \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{dx}{x} \\  & v=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{align} \right.$. Ta có  ${{I}_{1}}=\frac{{{e}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{3}}}{9}\left| _{1}^{e} \right.=\frac{2{{e}^{3}}+1}{9}$

Vậy $V=\frac{\pi \left( 5{{e}^{3}}-2 \right)}{27}$.