Ta có:
$\begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(4;-5;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(3;-6;4) \\ \end{align}$

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-14;-13;-9)$
Chọn $\overrightarrow{n}=(14;13;9)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:
$\begin{align}  & 14(x-1)+13(y-6)+9(z-2)=0 \\  & \Leftrightarrow 14x+13y+9z-110=0 \\ \end{align}$
Khi đó $R=d(D;(ABC))=\frac{4}{\sqrt{446}}$.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: $(S):{{(x-5)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}=\frac{8}{223}$.

Đáp án D