Cái ly hình nón có $V=27c{{m}^{3}}$, đường sinh $l$ , đường cao $h$ và bán kính $r$ .

$V=\frac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h\Rightarrow h=\frac{3V}{\pi .{{r}^{2}}}=\frac{{{3}^{4}}}{\pi .{{r}^{2}}}$

${{S}_{tp}}=\pi {{r}^{2}}+\pi .r.l=\pi {{r}^{2}}+\pi .r.\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\pi {{r}^{2}}+\pi .r.\sqrt{{{\left( \frac{{{3}^{4}}}{\pi .{{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\pi {{r}^{2}}+\sqrt{\frac{{{3}^{8}}}{{{r}^{2}}}+{{\pi }^{2}}.{{r}^{4}}}$

Xét hàm số$f(r)=\pi {{r}^{2}}+\sqrt{\frac{{{3}^{8}}}{{{r}^{2}}}+{{\pi }^{2}}.{{r}^{4}}}$trên $(0;+\infty )$ có $f'(r)=2\pi r+\frac{-\frac{{{3}^{8}}.2}{{{r}^{3}}}+4{{\pi }^{2}}{{r}^{3}}}{2\sqrt{\frac{{{3}^{8}}}{{{r}^{2}}}+{{\pi }^{2}}.{{r}^{4}}}}$ 

$f'(r)=0$ $\Rightarrow r=\sqrt[4]{\frac{{{3}^{6}}}{2{{\pi }^{2}}}}$ .

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow r=\sqrt[4]{\frac{{{3}^{8}}}{2{{\pi }^{2}}}}$thì $f(r)$ hay${{S}_{tp}}$ đạt cực tiểu.$$

Đáp án: A